Tämä luentomateriaali on tarkoitettu kevään 2017 kurssille

\(\phantom{sisennys-sisennys}\) Calculus 3

(matematiikan perusopinnot, 5 op). Materiaali on vielä keskeneräistä ja täydentyy kurssin aikana. Ilmoitathan löytämistäsi virheistä luennoitsijalle!

Merkintä [A, x.y] viittaa kirjan

  [A] Adams, Robert A. Calculus: a complete course, 8. painos, Pearson 2013

luvun x kappaleeseen y.

+Katso kurssiin liittyvät käytännön asiat (suorittaminen, aikataulut) kurssin kotisivulta. Linkki kotisivulle löytyy Korpista.

Huomaa, että tämä materiaali on tarkoitettu luentojen tueksi, ei itsenäiseen opiskeluun.

1. Integrointitekniikoita: osittaisintegrointi

lyhyt kertaus integroinnista yleensä
osittaisintegrointi

[A, 6.1]

1.1 Integroinnista

Kaksi merkitystä:
- "koostaminen", yhteys pinta-alaan
  - määrätty integraali jatkuvalle \(f\): \[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta x_k, \] \(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\), \(c_k \in [x_{k-1}, x_k]\) (ks. Calculus 2, kohta 10.1)
    - paloittain jatkuville myös ok
    - tarkemmin kurssilla JMA3
- antiderivointi
  - integraalifunktio/kantafunktio \(F\): \(\quad F'(x) = f(x)\)
    - kaikki funktion \(f\) integraalifunktiot \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R} \] (ks. Calculus 2, kohta 11.1)
    - ei onnistu kaikille \(f\)
Yhdistävä linkki analyysin peruslause:
- "Määrätyn integraalin voi laskea antiderivaatan avulla" eli \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), \] kun \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\)
- Sijoitusmerkintä \(/^b_{\!\!a} F(x) = F(b) - F(a)\).
- ks. Calculus 2, kohta 11.2

Integrointitekniikoita ("arvaustekniikoita"):
- suoraan derivointikaavoista (osataan jo)
- sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto (vrt. ketjusääntö)
  - helppo muuttujanvaihto (osataan jo)
  - vaikeampi muuttujanvaihtomenetelmä (pian)
    - trigonometriset sijoitukset
    - hyperboliset sijoitukset
- osittaisintegrointi (vrt. tulon derivointi) (pian)
- rationaalifunktioiden integrointi (myöhemmin)
  - polynomiosa ja jäännös
  - jäännökselle osamurtokehitelmä
- (muita menetelmiä)
Muista, että integroinnin tuloksen ("antiderivaatan") voi aina tarkistaa derivoimalla!

Esimerkki ("helppo muuttujanvaihto")

Laske \(\int \frac{\sin(3\log x)}{x} \, dx\).
- Muuttujanvaihdolla eli sijoituksella \(u=3\log x\), jolloin \(du=\frac{3}{x} \, dx\), saadaan \[ \int \frac{\sin(3\log x)}{x} \, dx = \tfrac{1}{3}\int \sin(u) \, du = - \tfrac{1}{3} \cos u + C = - \tfrac{1}{3} \cos (3\log x) + C . \]
- Tarkista itse derivoimalla!
  - Huomaa, että \(\log\) tarkoittaa luonnollista logaritmia (tässä ja aina tällä kurssilla sekä usein muulloinkin matematiikassa; muilla aloilla muita käytäntöjä).
Laske \(\int \frac{1}{x^2+4x+5} \, dx\).
- Muokkaus ja sijoitus \(u=x+2\); tulos on \(\arctan(x+2) +C\).
- Tarkempi käsittely ja lisää esimerkkejä [A, s. 319 / 5.6].

1.2 Osittaisintegrointi

Tulon derivointi: \[ D(f g) = f' g + f g' \]
Tästä siis \[ \int [f'(x) g(x) + f(x) g'(x) ] \, dx = f(x) g(x) + C \]
Jos tuloilla \(f'g\) ja \(fg'\) on antiderivaatat, lineaarisuus \(\implies\) \[ \int f'(x) g(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) \, dx \]
- tätä kutsutaan osittaisintegroinniksi.

Huomautuksia

Mitä iloa?
- jos osataan integroida toinen tuloista (eli \(f'g\) tai \(g'f\,\)), niin osataan toinenkin!
Valitsemalla \(f'(x) \equiv 1\) päästään integroinnin sijasta derivoimaan, esim. \(\int \log x \, dx\) alla.
Usein käytetään lyhennysmerkintöjä \(u=f(x)\), \(v=g(x)\), jolloin siis \(u'=f'(x)\) ja \(v'=g'(x)\) ja osittaisintegrointikaava on \[ \int uv' = uv - \int u'v . \]

1.2.1 Esimerkkejä

Lasketaan \(\int \log x \, dx\) osittaisintegroimalla. Valitaan \(u=\log x\) ja \(v'=1\), jolloin \(u'=\frac{1}{x}\) ja \(v=x\) (vakion saa valita, valitaan nolla). Siis \[ \int \log x \, dx = x\log x - \int \tfrac{1}{x} \, x \, dx = x \log x - x + C. \]
\(\int x^2 \sin x \, dx\)
- Osittaisintegrointi: \(u=x^2\), \(v'= \sin x\) ja siis \(u'=2x\), \(v= -\cos x\); \[ \int x^2 \sin x \, dx = -x^2\cos x +2\int x\cos x \, dx \]
- Uudestaan: nyt \(u=x, v'=\cos x\), \(u'=1, v= \sin x\), josta \[ \int x\cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C \] ja siten \[ \int x^2 \sin x \, dx = -x^2\cos x +2x \sin x + 2\cos x + C, \quad C \in \mathbb{R} . \]
  - Miksi valittiin \(u\) ja \(v\) näin eikä toisinpäin?

Laske \(\int e^{2x} \cos x \, dx\).
- Osittaisintegrointi valinnoilla \(u=e^{2x}\), \(v'=\cos x\) tuottaa \[ \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - \int 2 e^{2x} \sin x \, dx \]
- Osittaisintegrointi uudestaan valinnoilla \(u=e^{2x}\), \(v'=\sin x\) tuottaa yhtälön \[ \int e^x \cos 2x \, dx = e^{2x} \sin x - 2[ -e^{2x} \cos x + \int 2e^{2x} \cos x \, dx] \\ = e^{2x} \sin x + 2e^{2x} \cos x -4 \int e^{2x} \cos x \, dx \] eli merkinnän \(I = \int e^{2x} \cos x \, dx\) avulla \[ I = e^{2x} \sin x + 2e^{2x} \cos x -4 I, \] josta osataan ratkaista \[ I = \tfrac{1}{5} (e^{2x} \sin x + 2e^{2x} \cos x) +C. \]
  - Mitä tapahtuisi, jos jälkimmäisellä kerralla valittaisiin \(u\) ja \(v'\) toisinpäin?

1.2.2 Määrätyn integraalin laskeminen osittaisintegroinnin avulla

Kaksi tapaa: voi joko
- etsiä ensin antiderivaatan lausekkeen osittaisintegroinnilla ja sen jälkeen sijoittaa, tai
- laskea sijoitukset matkan varrella:

Esimerkki

Laske \(\int _1^e x^3 (\log x)^2 \, dx\).
- Osittaisintegrointi, \(u=(\log x)^2\), \(v'=x^3 dx\), \(u' = 2 (\log x) \, \frac{1}{x}\), \(v=\frac{1}{4}x^4\) \[ \int_1^e x^3 (\log x)^2 \, dx = \bigg/_{\!\!\!1}^e \tfrac{1}{4} x^4 (\log x)^2 - \tfrac{2}{4}\int_1^e x^4 (\log x) \, \frac{1}{x} \, dx \\ = \frac{e^4}{4} - \frac{1}{2} \int_1^e x^3 \log x \, dx. \]
- Uudestaan: nyt \(u=\log x\), \(v'=x^3 dx\), \(u' = \frac{1}{x}\), \(v=\frac{1}{4}x^4\) ja siis \[ \int_1^e x^3 (\log x)^2 \, dx %= \frac{e^4}{4} - \frac{1}{2} \int_1^e x^3 \log x \, dx \\ = \frac{e^4}{4} - \frac{1}{2} \left[\bigg/_{\!\!\!1}^e \tfrac{1}{4} x^4 \log x - \tfrac{1}{4}\int_1^e x^3 \, dx\right] \\ = \frac{e^4}{4} - \frac{e^4}{8} + \frac{1}{8}\bigg/_{\!\!\!1}^e\frac{1}{4} x^4 = \frac{e^4}{4} - \frac{e^4}{8} + \frac{1}{8} \left(\frac{e^4}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{5e^4}{32} - \frac{1}{32} . \]

1.2.3 Palautuskaavoista

Esimerkki

Laske \(\int x^4 e^{-x} \, dx\).
- Osittaisintegrointi neljästi; jokaisella kerralla \(x\):n potenssi (alunperin \(x^4\)) pienenee yhdellä.
- Viimeinen osittaisintegrointi tuottaisi \[ \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -xe^{-x} -e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) +C. \]
- Yleisesti: jos merkitään \(I_n = \int x^n e^{-x} \, dx\), niin osittaisintegrointi (\(u=x^n\), \(v'=e^{-x}\)) johtaa palautuskaavaan \[ I_n = -x^n e^{-x} + n I_{n-1}. \]
- Huomaa, että \(I_0=\int e^{-x} \, dx\) on helppo laskea; \(I_0 = -e^{-x} +C\) ja edellä laskettu \(I_1\) on juuri \(-x^1 e^{-x} + 1 \cdot I_0\), kuten pitääkin.
- Tämän palautuskaavan avulla \[ \begin{array}{ll} I_2 &= -x^2 e^{-x} + 2I_1 = -e^{-x} (x^2+2x+2) + C\\ I_3 &= -x^3 e^{-x} + 3I_2 = -e^{-x} (x^3+3x^2+6x+6) + C\\ I_4 &= -x^4 e^{-x} + 4I_3 = -e^{-x} (x^4+4x^3+12x^2+24x+24) + C \end{array} \] (integroimisvakio \(C\) on kullakin rivillä mikä tahansa reaaliluku eikä siis välttämättä sama; selvyyden vuoksi voi käyttää numeroituja vakioita \(C_0, \ldots, C_4\)).

Kaavakokoelmassa on lisää palautuskaavoja, myös integraalille \(\int x^n e^{ax}\, dx\), josta yllä oleva esimerkki on erikoistapaus (\(a=-1\)).

2. Rationaalifunktioiden integrointi

polynomiosa ja jäännös
- jakokulmassa jakaminen
osamurtokehitelmä
osamurtolukujen integrointi

[A, 6.2]

2.0.1 Lämmittelytehtävä

Valitse kaksi murtolukua ja laske murtolukujen summa.
- Jos näet vain summan, voitko arvata alkuperäiset luvut? Millä keinoin?
  - (Yleisesti et toki voi, mutta sopivilla luvuilla tämä havainnollistaa seuraavaksi käsiteltävää menetelmää.)

2.0.2 Lämmittelyesimerkki

Koska \[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{(x-1) + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x+1}{x^2-1}, \] saadaan laskettua \[ \int \frac{3x+1}{x^2-1} \, dx = \int \frac{1}{x+1} \, dx + \int \frac{2}{x-1} \, dx \\ = \log |x+1| + 2\log |x-1| + C, \] kun \(x\not = 1\), \(x\not = -1\).

Miten keksitään, että \(\frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}\) ?
- Osamurtokehitelmä (ihan pian).

2.1 Rationaalifunktio

Määritelmä

\(R\) on rationaalifunktio, joss \[ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \] missä \(P\) ja \(Q\) ovat polynomeja.
- Määrittelyjoukko on \(\mathbb{R} \setminus \{x \, \colon \, Q(x)=0\}\) eli nimittäjä ei saa olla nolla.

Ominaisuuksia

Rationaalifunktio on määrittelyjoukossaan jatkuva ja derivoituva (jopa äärettömän monta kertaa derivoituva).
Pystysuorat asymptootit nimittäjän nollakohdissa, jos missään.

Polynomiosa ja jäännös

Rationaalifunktio voidaan aina kirjoittaa muodossa \[ R(x) = K(x) + \frac{J(x)}{Q(x)}, \] missä
- \(K\) ja \(J\) ovat polynomeja ja
- polynomin \(J\) aste on pienempi kuin polynomin \(Q\) aste.
Tässä hajotelmassa
- \(K\) on polynomiosa ja
- \(J\) on jäännös (engl. "remainder") tai jäännöspolynomi.
Huomautuksia:
- \(K\) tai \(J\) voi olla myös nolla tai vakio
- jäännöksen \(J\) aste on aidosti pienempi kuin nimittäjän \(Q\)
  - jos osoittajalla ja nimittäjällä on sama aste, polynomiosaksi saadaan vakio
- hajotelma on yksikäsitteinen
- vrt. (epä)murtoluku / sekaluku: \(\frac{17}{5} = 3+\frac{2}{5}\)
- kertaa tarvittaessa Calculus 1, kohdat 4.1 ja 4.2
Polynomiosa löytyy päättelemällä ("short division") tai jakamalla jakokulmassa ("long division").

Esimerkkejä

\[ \frac{x^3+3x^2}{x^2+1} = x+3 - \frac{x+3}{x^2+1} \]
\[ \frac{x}{2x-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2x-1)} \]

[A, s. 339]

2.2 Rationaalifunktioiden integroinnista

Ongelma: osamäärän integrointi?
- Ei osata!
- Summan integrointi onnistuu, jos termit osataan integroida;
  - lasketaan polynomiosa ja jäännös.
Polynomi osataan integroida; entä loput?
- Kirjoitetaan \(\frac{J(x)}{Q(x)}\) summana, jonka termit osataan integroida.
  - Miten?
    1. Millaisena summana?
      - nk. osamurtokehitelmä
    2. Miten osataan integroida saadut termit?
      - eri tapaukset eri tavoin; logaritmi, arkustangentti tai negatiivinen potenssi (kuten \(\frac1x\))
Lopputulos:
- mikä tahansa rationaalifunktio osataan integroida. (!)
Seuraus:
- (myöhemmin) sijoituksella pyritään muuttamaan hankala integraali rationaalifunktion integroinniksi, koska se osataan.

2.3 Osamurtokehitelmä

2.3.1 Esimerkki

Kirjoita osamurtokehitelmän avulla \(\frac{3x+1}{x^2-1}\). (Vrt. lämmittelyesimerkki.)
- Jaetaan nimittäjä tekijöihin: \[ x^2-1 = (x+1)(x-1) \]
- Summassa voisi siis olla murtolausekkeita, joiden nimittäjät ovat \(x+1\) ja \(x-1\).
- Kirjoitetaan summa vapaiden kertoimien avulla ja lasketaan: \[ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{(A+B)x-A+B}{x^2-1} \]
- Ratkaistaan \(A\) ja \(B\) yhtälöstä \[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{(A+B)x-A+B}{x^2-1} \] (huom: yhtälön pitää olla totta kaikilla \(x\); nimittäjät ovat samat, joten voidaan verrata osoittajia): \[ \begin{cases} \phantom{+}A+B = 3 \quad \text{ (osoittajien 1. asteen termin kerrointen oltava samat)} \\ -A+B = 1 \quad \text{ (osoittajien vakiotermien pitää olla samat)} \end{cases} \] Tästä saadaan \(A=1, \, B=2\). Siis \[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} . \]

2.3.2 Menetelmä

Kirjoitetaan \(\frac{J(x)}{Q(x)}\), missä osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste, osamurtolukujen summana:

Jaetaan nimittäjä \(Q(x)\) mahdollisimman matalan asteen tekijöihin.
- Tekijät ovat joko
  - "lineaarisia" eli ensimmäisen asteen polynomeja, \((ax+b)\), tai
  - "neliöllisiä" eli toisen asteen polynomeja, \(ax^2+bx+c\), missä \(b^2-4ac <0\) eli ei reaalisia nollakohtia
    - (ei todisteta).
Vastaavat osamurtoluvut ovat muotoa \[ \frac{A}{ax+b} \quad \text{ ja } \quad \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}. \]
- moninkertaisille tekijöille tarvitaan summia: \[ (ax+b)^k : \quad \frac{A_1}{ax+b}+ \frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \cdots + \frac{A_k}{(ax+b)^k} \] ja \[ (ax^2+bx+c)^k : \quad \frac{B_1 x + C_1}{ax^2+bx+c}+ \frac{B_2 x + C_2}{(ax^2+bx+c)^2}+ \cdots + \frac{B_k x + C_k}{(ax^2+bx+c)^k} \]
Ratkaistaan vakiokertoimet \(A, \, B,\, C\,\) (tai \(A_j,\, B_j,\, C_j\,\), \(j = 1, \ldots, k\)) \(\,\) yhtälöstä \[ \frac{J(x)}{Q(x)} = \text{ osamurtolukujen summa } \] (kaikilla \(x\)).

Osamurtolukujen summaa (ratkaistuilla kertoimilla) sanotaan osamurtokehitelmäksi.

2.4 Osamurtolukujen integrointi

Osamurtokehitelmässä esiintyy eri muotoisia osamurtolukuja: \[ \frac{A}{ax+b}, \quad \frac{A}{(ax+b)^2} , \quad \cdots \] sekä \[ \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}, \quad \frac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)^2}, \quad \cdots \]

Vakiokerroin \(A\) voidaan siirtää integroinnin ulkopuolelle.
Summa \(Bx+C\) voidaan hajottaa ja siirtää vakiokertoimet integroinnin ulkopuolelle.

2.4.1 Nimittäjässä ensimmäisen asteen tekijä

Osamurtoluvut \(\,\frac{1}{ax+b}\,\) ja \(\,\frac{1}{(ax+b)^k}\,\), \(k= 2, 3, \ldots\)

Derivoinnista \[ D \log x = \frac{1}{x}, \quad \quad Dx^{-n} = -n x^{-n-1} \] saadaan \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| + C \] ja \[ \int \frac{1}{x^k} \, dx = \int x^{-k} \, dx = -\frac{1}{k-1} x^{-(k-1)}, \] kun \(x \not = 0\).
Muuttujanvaihdolla siis \[ \int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} \log |ax+b| + C \] ja \[ \int \frac{1}{(ax+b)^k} \, dx = - \frac{1}{a(k-1)(ax+b)^{(k-1)}}, \] kun \(ax+b \not = 0\) eli kun \(x \not = -\frac{b}{a}\).
- Vinkki: näitä ei kannata opetella ulkoa vaan harjoitella laskemaan itse.

2.4.2 Nimittäjässä yksinkertainen toisen asteen tekijä

Osamurtoluku on joko \(\frac{1}{x^2+1}\) tai \(\frac{x}{x^2+1}\) (tai muutetaan muuttujanvaihdolla tähän muotoon).

Derivoinnista \[ D \arctan x = \frac{1}{x^2+1} \, ,\quad \quad D \log(x^2+1) = \frac{2x}{x^2+1} \] saadaan \[ \int \frac{1}{x^2+1} \, dx = \arctan x + C \] ja \[ \int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \log |x^2+1| + C = \frac{1}{2} \log (x^2+1) + C . \]
Täydentäminen neliöksi ja muuttujanvaihto auttavat saamaan osamurtoluvun tähän muotoon:

Esimerkki

\[ \begin{array}{rl} \int \frac{1}{x^2+4x+7} \, dx = \int \frac{1}{(x+2)^2+3} \, dx &= \frac{1}{3}\int \frac{1}{\left(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} \, dx \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{1}{t^2 + 1} \, dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan t + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x+2}{\sqrt{3}} \right) + C . \end{array} \]

2.4.3 Nimittäjässä moninkertainen toisen asteen tekijä

Osamurtoluku on joko \(\frac{1}{(x^2+1)^k}\) tai \(\frac{x}{(x^2+1)^k}\,\), \(\, k = 2, 3, \ldots\,\) (tai voidaan saattaa tähän muotoon muuttujanvaihdolla).

Derivoinnista \[ D (x^2+1)^{-n} = -n (x^2+1)^{-n-1} \cdot 2x \] saadaan \[ \int \frac{x}{(x^2+1)^k} \, dx = \frac{1}{2(k-1)(x^2+1)^{k-1}} + C. \]
(+) Osamurtolukua \(\frac{1}{(x^2+1)^k}\) ei osata integroida suoraan derivointikaavojen avulla, mutta huomio \[\frac{1}{(x^2+1)^k} = \frac{x^2+1}{(x^2+1)^k} - x\frac{x}{(x^2+1)^k}\] sekä jälkimmäisen osan osittaisintegrointi (edellisen kohdan avulla!) johtavat palautuskaavaan \[ \int \frac{1}{(x^2+1)^k} \, dx = \frac{x}{2(k-1)(x^2+1)^{k-1}} - \frac{2k-3}{2(k-1)} \int \frac{1}{(x^2+1)^{k-1}} \, dx . \]

Esimerkkejä

\[ \int \frac{1}{x^3+1} \, dx = \ldots = \frac13 \log |x+1| - \frac 16 \log (x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C, \] \(x\not = -1\).
\[ \int \frac{1}{x(x-1)^2} \, dx = \ldots = \log |x| - \log |x-1| - \frac{1}{x-1} + C, \] \(x \not = 0\), \(x \not = 1\).
\[ \int \frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} \, dx = \ldots = 2 \log |x| - \log (2x^2+1) + \frac{3}{4(2x^2+1)} + C, \] \(x \not = 0\).

[A, s. 343-345]

Esimerkkien 1 ja 2 käsittely myös kurssin kotisivulla.

3. Muuttujanvaihto eli sijoitusmenetelmä

muuttujanvaihdosta yleisesti
muutamia sijoitusneuvoja:
- trigonometriset sijoitukset
- hyperboliset sijoitukset
- muita tavanomaisia sijoituksia
- sijoitus \(x=\tan \frac{t}{2}\)
muita arvauskeinoja (määräämättömät kertoimet)
lyhyt kertaus integrointitekniikoista (mitä osataan?)

[A, 6.3, (6.4)]

3.0.1 Lämmittelytehtäviä

Laske \[ \int \frac{1}{2x-5} \, dx \, . \]
- Sijoituksella \(u=2x-5\), \(\frac{du}{dx} = 2\) (eli differentiaalimerkinnöin \(du = 2dx\) ) saadaan \[ \int \frac{1}{2x-5} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \log|u| +C = \frac{1}{2} \log |2x-5| +C, \] kun \(2x-5 \not = 0\) eli kun \(x\not = \frac{5}{2}\).
- Sijoitus voitaisiin kirjoittaa myös muodossa \(x=\frac{u+5}{2}\), \(\,\frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\) eli \(\, dx = \frac{1}{2} \, du\).
Laske \[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx \] sijoituksella \(x=\sin u \,\) eli \(u = \arcsin x\). (Huomaa, että on oltava \(x \in [-1,1]\) ).
- Sijoituksella \(x=\sin u \,\), \(dx = \cos u \,du\,\) saadaan \[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \sqrt{1-\sin^2u} \, \cos u \, du \,. \] Koska \(\sqrt{1-\sin^2u} =\sqrt{\cos^2u} = |\cos u| = \cos u\) , kun \(u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), on \[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \cos^2 u \, du = \int \frac{1}{2} (\cos 2u +1) \, du = \frac{1}{4} \sin 2u + \frac{1}{2} u + C . \] Sijoitus \(\sin u = x\) takaisin tuottaa \[ \frac{1}{4} \sin 2u + \frac{1}{2} u = \frac{1}{2} \sin u \cos u + \frac{1}{2} u = \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \arcsin x . \]
- Sijoituksella \(u = \arcsin x\), \(du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) vastaava lasku: \[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \frac{(\sqrt{1-x^2})^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int (1-\sin^2 u) \, du = \ldots \]
Laske \[ \int_0^1 \frac{(\arctan x)^2}{1+x^2} \, dx \] sijoituksella \(u = \arctan x\). Miten integroimisrajat muuttuvat?
- Vastaus on \(\frac{\pi ^3}{192}\).

3.1 Suora ja "käänteinen" muuttujanvaihto

3.1.1 Suora muuttujanvaihto

"Paketoidaan" integraalissa esiintyvä sisäfunktio uuteen muuttujaan: \[ \int f(h(x)) h'(x) dx = \int f(u) du \]
- tässä siis \(\,u=h(x)\), \(\,du = h'(x) \, dx\)
- auttaa, jos \(f\) osataan antiderivoida
Entä, jos sisäfunktion derivaattaa \(h'(x)\) ei ole näkyvissä? (Tai sisäfunktiota \(h\) ylipäätään?)

3.1.2 "Käänteinen" muuttujanvaihto

Lasketaan \[ \int f(x) \,dx \] muuttujanvaihdon \(x = g(u)\) avulla:
- merkitään \(\,x=g(u)\), \(\, dx = g'(u) \, du\), jolloin \[ \int f(x) \, dx = \int f(g(u)) g'(u) \,du \]
- auttaa, jos uusi muoto on helpompi antiderivoida (esim. rationaalifunktio - tai trig. kuten edellä)
  - Mistä keksitään hyvä sijoitus \(\,g\) ?

Esimerkki

Laske \[ \int \frac{1}{1+\sqrt{x}} \,dx \] sijoituksella \(u=\sqrt{x}\).
- "käänteinen sijoitus" on siis \(x=u^2\), josta saadaan \(dx = 2u\, du\) (kun \(u \geq 0\)), joten \[ \int \frac{1}{1+\sqrt{x}} \,dx = \int \frac{2u}{1+u} \, du \]
- Tulos on \(2 \sqrt{x} - 2 \log (\sqrt{x} +1) + C\), \(x \geq 0\).
- Tarkista tulos derivoimalla (kuten aina!)
  - sijoituksen bijektiivisyys voidaan jättää tutkimatta (yllä \(u\geq 0\)).

3.1.3 Määrätty integraali ja muuttujanvaihto

Määrätyssä integraalissa on muistettava käsitellä myös integroimisrajat: \[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(u)) g'(u) \,du , \]
- \(\,x = a \iff u=\alpha\,\) eli \(\,\alpha = g^{-1}(a)\,\) ja
- \(\,x = b \iff u=\beta\,\) eli \(\,\beta = g^{-1}(b)\)
Rajat voi myös säilyttää ja palata alkuperäiseen muuttujaan ennen sijoitusta: \[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_{x=a}^{x=b} f(g(u)) g'(u) \,du \]
- Huom. merkintä \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(g(u)) g'(u) \,du\,\) olisi väärin!

Esimerkki

Laske (vrt. lämmittelyesimerkki) \[ \int_{k}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx . \]
- tulos on \(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}k\sqrt{1-k^2} - \frac{1}{2} \arcsin{k}\,\)
  - (kunhan \(\, k \in [-1,1]\)).
  - Piirrä myös kuva!
    - Mitä olisi \(\int_{0}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\) ?

3.2 Sijoitusneuvoja

3.2.1 Trigonometriset sijoitukset

Rationaalifunktioista on jo nähty
- \(\,\frac{1}{x^2 + a^2}\,\)
  - sijoitus \(u=\frac{x}{a}\) ja integrointi antaa arkustangentin, tai
  - suoraan sijoituksella \(\,u=\arctan \frac{x}{a}\,\) eli \(\,x=a \tan u\)
  - \(a>0\)
  - myös muille samantyyppisille (ks. esim. 1 alla)
Juurifunktioille
- \(\,\sqrt{a^2-x^2}\,\)
  - sijoitus \(x=a\sin u\)
  - (tai ensin \(\,u=\frac{x}{a}\,\) ja sitten \(\,u = \sin t\,\) kuten edellisessä)
  - vrt. lämmittelyesimerkki
  - \(a>0\)
  - myös \((a^2-x^2)^{-\frac{3}{2}}\,\) jne.
  - muut apukolmion avulla: koska \(\,\sin u = \frac{x}{a}\), on
    - \(\,\cos u = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\,\) ja \(\,\tan u = \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
- \(\,\sqrt{a^2 + x^2}\,\) yms:
  - sijoitus \(\,x=a \tan u\)
  - (tai ensin \(\,u=\frac{x}{a}\,\) ja sitten \(\,u = \tan t\,\) kuten aiemmin)
  - \(a>0\)
  - muut apukolmion avulla: koska \(\,\tan u = \frac{x}{a}\), on
    - \(\,\sin u = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\,\) ja \(\,\cos u = \frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}\)
  - (myös hyperbolinen sijoitus \(\,x= a\sinh u \,\))
Trigonometrisista funktioista
- "Sveitsiläinen linkkuveitsi"
  - sijoitus \(u = \tan \frac{x}{2}\) muuttaa sinin ja kosinin rationaalifunktion (kuten \(\frac{1}{2+\cos x}\) ) integroinnin tavallisen rationaalifunktion integroinniksi.
  - kaavakokoelmasta tai apukolmion ja kaksinkertaisten kulmien avulla
    - \(\, \sin x = \frac{2u}{1+u^2}\,\) ja \(\,\cos u = \frac{1-u^2}{1+u^2}\,\) sekä \(\,dx = \frac{2}{1+t^2} dt\,\)

Esimerkkejä

\[ \int \frac{1}{(1+9x^2)^2} \, dx = \ldots = \frac16 \arctan 3x + \frac12 \frac{x}{1+9x^2} + C \]
- osamurtokehitelmän tai sijoituksen \(\,x=\frac13 \tan u\,\) eli \(\,3x = \tan u \,\) avulla
\[ \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} \, dx = \ldots = \arcsin (x-1) + C \]
- täydennä ensin neliöksi
\[ \int \frac{1}{2+\cos x} \, dx = \ldots = 2 \int \frac{1}{3+u^2} du \\ = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{u}{\sqrt{3}} + C \\ = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\right) + C \]

[A, s. 348, 350, 353]

3.2.2 Hyperboliset sijoitukset

Juurifunktioille
- \(\, \sqrt{x^2-a^2}\)
  - sijoitus \(x = a \, \cosh u\,\)
  - (tai ensin \(\,u = \frac{x}{a}\,\) ja sitten \(\,u= \cosh t\,\) kuten aiemmin)
  - \(a>0\), \(\, x \geq a\)
  - Hyperboliset funktiot:
    - \(\,\sinh u = \frac{1}{2} (e^u - e^{-u})\), \(\,\cosh u = \frac{1}{2} (e^u + e^{-u})\)
  - Huomaa Pythagoraan lausetta vastaava tieto hyperbolisille funktioille \[ \cosh^2u - \sinh^2 u = 1 \] sekä käänteisfunktioiden lausekkeet \[ \operatorname{arsinh} u = \log (u+\sqrt{u^2+1}), \quad \operatorname{arcosh} u = \log (u+\sqrt{u^2-1}) \] (jälkimmäinen voimassa vain, kun \(x\geq 1\)).
- \(\, \sqrt{x^2+a^2}\)
  - sijoitus \(x = a \, \sinh u\,\)
  - tai tangenttisijoitus (aiemmin)

Esimerkki

Laske \[ \int_0^4 \frac{1}{(x^2+9)^{\frac{3}{2}}} \, dx \]
1. sijoituksen \(\, x = 3 \sinh u\,\) avulla
2. sijoituksen \(\, x = 3 \tan u \,\) avulla
  - vastaus on \(\frac{4}{45}\).

[A, s.351]

3.2.3 Muita sijoituksia

Muut juurifunktiot:
- \(\, \sqrt{ax+b}\)
  - sijoituksella \(\, u = \sqrt{ax+b}\) eli \(u^2 = ax+b\)
- \(\, \sqrt[n]{ax+b}\)
  - sijoituksella \(\, u = \sqrt[n]{ax+b}\) eli \(u^n = ax+b\)
    - implisiittinen derivointi yksinkertaistaa joskus laskuja:
      - \(\,n u^{n-1} \,du = a \,dx\,\)

Esimerkkejä

\[ \int x \sqrt{x-1} = \ldots = \frac{2}{5} (x+1)^{\frac52}- \frac23 (x+1)^{\frac32} + C \]
\[ \int \frac{1}{1+\sqrt{2x}} \, dx = \ldots = \sqrt{2x}- \log (1+\sqrt{2x}) + C \]
\[ \int_{-\frac13}^2 \frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}} \, dx = \ldots = \frac{16}{15} \]
\[ \int \frac{1}{x^{\frac12} (1+x^{\frac13})}\, dx = \ldots = 6x^{\frac16} - 6\arctan (x^{\frac16}) + C \]

Muut kuin 1. käsitelty [A, s. 352].

4. Epäoleelliset integraalit

rajoittamaton väli
rajoittamaton funktio
tärkeitä esimerkkejä
majorantti/minoranttiperiaate

[A, 6.5]

4.1 Määrätyn integraalin rajoitteet

Määrätyssä integraalissa \[ \int_a^b f(x) \, dx \]
- väli \([a,b]\) on suljettu ja rajoitettu (\(a\) ja \(b\) lukuja) ja
- funktio \(f\) on jatkuva koko välillä \([a,b]\)
  - (tai paloittain jatkuva eli jatkettavissa kussakin palassa erikseen jatkuvaksi palan päätepisteisiin saakka)
    - tällä kurssilla näin; muilla kursseilla mietitään tarkemmin, millaisille funktioille integraali voidaan määritellä
- siis \(f\) on rajoitettu!
Voidaanko tarkastella myös tilannetta, jossa
- väli ei ole rajoitettu
  - esim. \(]-\infty, 5]\) tai \([0, \infty[\)
- tai \(f\) ei ole rajoitettu välillä \([a,b]\) (eikä välttämättä edes määritelty päätepisteissä)
  - esim. \(\frac{1}{x}\) välillä \(]0,1]\) ?

4.2 Epäoleellinen integraali: rajoittamaton väli

"Epäoleellinen integraali on lyhennysmerkintä raja-arvolle."

4.2.1 Määritelmä

Jos \(f\) on jatkuva välillä \([a, \infty[\), niin merkitsemme \[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{R \to \infty} \int_a^R f(x) \, dx \] ja sanomme, että tämä raja-arvo on funktion \(f\) epäoleellinen integraali yli välin \([a, \infty[\),
ja vastaavasti jos \(f\) on jatkuva välillä \(]-\infty, b]\), niin \[ \int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{R \to -\infty} \int_R^b f(x) \, dx \, . \]
- Jos raja-arvo on olemassa, sanomme, että
  - epäoleellinen integraali suppenee
- jos raja-arvoa ei ole olemassa,
  - epäoleellinen integraali hajaantuu
    - "hajaantuu äärettömään", jos raja-arvo on ääretön (vast. \(-\infty\)).
Jos \(f\) on jatkuva kaikkialla, sen epäoleellinen integraali yli koko reaaliakselin on \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^0 f(x) \, dx + \int_0^{\infty} f(x) \, dx \]
- suppenee, jos molemmat oikealla puolella olevat epäoleelliset integraalit suppenevat.
- Nollan tilalle voidaan valita mikä tahansa muukin reaaliluku.
- Huom: lasketaan vain yksi raja-arvo kerrallaan! Tilanteessa "\(\infty-\infty\)" epäoleellinen integraali ei suppene.
  - vrt. Cauchyn pääarvointegraali, engl. principal value integral; eri käsite! (Ei käsitellä tällä kurssilla.)

4.2.2 Esimerkkejä

Laske epäoleellinen integraali \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \, . \]
- Lasketaan ensin määrätty integraali väliltä \([1,R]\) ja sitten raja-arvo: \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{R\to \infty} \int_1^R \frac{1}{x^2} \, dx= \lim_{R\to \infty} \bigg/_{\!\!\!\!\! 1}^R -\frac1x = \ldots = 1 . \]
Entä \(\,\int_1^{\infty} \frac1x \, dx\) ? \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{R\to \infty} \int_1^R \frac{1}{x} \, dx = \lim_{R\to \infty} \bigg/_{\!\!\!\!\! 1}^R \log x = \lim_{R\to \infty} \log R = \infty . \]
- Siis epäoleellinen integraali \(\,\int_1^{\infty} \frac1x \, dx\) hajaantuu äärettömään.
- Piirrä myös kuvat! Mitä pinta-aloja tulokset \(\,1\,\) ja \(\,\infty\,\) ovat?
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} = \ldots = \pi \]
\[ \int_0^{\infty} \cos x \, dx = \ldots = \lim_{R\to \infty} \sin R \quad \text{ (ei ole olemassa!)} \]
- hajaantuu, mutta ei äärettömään (heilahtelee loputtomiin).
- Piirrä kuva.

[A, s. 360-363]

4.3 Epäoleellinen integraali: rajoittamaton integroitava funktio

"Epäoleellinen integraali on lyhennysmerkintä raja-arvolle."

4.3.1 Määritelmä ja huomautuksia

Jos \(f\) on jatkuva välillä \(]a,b]\quad\) (ja voi olla \(f(x) \to \pm \infty\), kun \(x \to a{+}\)), niin \[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{c \to a+} \int_c^b f(x) \, dx . \]
- Huomaa, että merkintä on sama kuin tavallisessa määrätyssä integraalissa;
  - määrättyä integraalia ei ole määritelty, jos \(f\) ei ole rajoitettu koko välillä \([a,b]\)
  - voidaan silti käyttää samaa merkintää (eli "laajentaa merkinnän käyttöaluetta")
  - välillä \([a,b]\) jatkuvalle funktiolle määrätty ja epäoleellinen integraali ovat samat
    - (tämän voisi todistaakin, mutta uskotaan)
    - samoin käy paloittain jatkuvalle funktiolle.
Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva välillä \([a, b[\), niin \[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{c \to b-} \int_a^c f(x) \, dx . \]
Samaa merkintää käytetään myös silloin, kun integroimisvälillä on useita pisteitä, joissa integroitavan funktion arvot karkaavat \(\pm \infty\), esim. \[ \int_{-1}^1 \frac{\log|x|}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int_{-1}^0 \frac{\log|x|}{\sqrt{1-x}} \, dx + \int_0^{\frac13} \frac{\log|x|}{\sqrt{1-x}} \, dx + \int_{\frac13}^1 \frac{\log|x|}{\sqrt{1-x}} \, dx \]
- näistä jokainen on epäoleellinen integraali, koska integroitavan funktion \(\frac{\log|x|}{\sqrt{1-x}}\) arvot karkaavat pisteissä (-1, 0 ja 1).

4.3.2 Esimerkkejä

Onko käyrien \(y= \frac{1}{\sqrt{x}}\), \(y=0\), \(x=0\) ja \(x=1\) väliin jäävällä rajoittamattomalla tasoalueella äärellinen pinta-ala?
- Piirrä kuva! \[ A = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{c\to 0+} \int_c^1 x^{-\frac12} = \ldots = 2 . \]
\[ \int_0^1 \frac1x \, dx = \infty \]
\[ \int_0^1 \log x \, dx = \ldots = -1 . \]

Huomaa, että jos \(f(x) \geq 0\) koko integroimisvälillä, sen epäoleellinen integraali joko suppenee tai hajaantuu äärettömään;
- heilahtelu tai hajaantuminen \(-\infty\) ei ole mahdollista.
- Vastaavasti \(f \leq 0 \implies\,\) integraali joko suppenee tai hajaantuu miinus äärettömään.

4.4 Tärkeitä esimerkkejä (\(x^{-p}\))

Nämä osataan laskea, ja näihin on hyvä verrata hankalampia tapauksia (myöhemmin):

Jos \(a>0\), niin \[ \int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx \quad \text{suppenee} \iff p > 1 \] ja \[ \int_0^a \frac{1}{x^p} \, dx \quad \text{suppenee} \iff p < 1 \]

Huomautuksia

"Keinulauta": jos \(p\not = 1\), toinen integraaleista \(\int_0^a \frac{1}{x^p} \, dx\) tai \(\int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) suppenee.
Tapaus \(p=1\): \[\int_0^a \frac1x \, dx = \infty \quad \text{ ja } \quad \int_a^{\infty} \frac1x \, dx = \infty\]
- ei suppene "kumpaankaan suuntaan"
Koko väli \([0,\infty[\) ?
\[\int_0^{\infty} x^{-p} \, dx \quad \text{ ei suppene millään } \, p\]

Laskut

Jos \(p>1\), niin \[ \int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx = \ldots = \frac{a^{1-p}}{p-1} \] ja \[ \int_0^a \frac{1}{x^p} \, dx \quad = \ldots = \infty . \]
Jos \(p<1\), niin \[ \int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx = \ldots = \infty \] ja \[ \int_0^a \frac{1}{x^p} \, dx \quad = \ldots = \frac{a^{1-p}}{1-p} . \]
- Laske itse yksityiskohdat!

Esimerkki

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \ldots = 2, \] mutta \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \infty . \]

4.5 Epäoleellisen integraalin suppenemisesta

"Jos ei osata laskea, selvitetään edes, suppeneeko."

4.5.1 Majorantti-/minoranttiperiaate

Jos \(f\) ja \(g\) ovat jatkuvia välillä \(]a,b[\) ja \[\,0 \leq f(x) \leq g(x)\, \quad \text{ koko välillä } ]a,b[\] ja lisäksi
1. \(\,\int_a^b g(x) \, dx\,\) suppenee, niin
  - myös \(\int_a^b f(x) \, dx \,\) suppenee ja \[ \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx ; \]
2. \(\,\int_a^b f(x) \, dx \,\) hajaantuu (eli \(\,\int_a^b f(x) \, dx = \infty\,\)), niin
  - myös \(\,\int_a^b g(x) \, dx\,\) hajaantuu eli \[\,\int_a^b g(x) \, dx = \infty .\]
Vastaava tulos on voimassa myös väleille \(\,]-\infty, b[\,\) ja \(\,]a, \infty[\).
Perustelu: vastaava tulos (monotonisuus) on voimassa määrätylle integraalille ja raja-arvoa otettaessa järjestys (\(\leq\)) säilyy.

Esimerkkejä

Suppeneeko \[ \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx \, ? \] Jos suppenee, arvioi lisäksi integaalin arvoa.
- Ei osata integroida...
- Osattaisiin integroida \(e^{-x}\) ja huomataan, että \[e^{-x^2} \leq e^{-x}\] kun \(x \geq 1\).
  - Perustelu: kun \(x\geq 1\), on \(x^2\geq x\) ja edelleen \(e^{x^2} \geq e^{x}\), koska eksponenttifunktio on kasvava funktio.
- Käsitellään erikseen palat \(\,[0,1]\,\) ja \(\,[1,\infty[\):
  - ensimmäisessä tavallinen määrätty integraali (jota ei osata laskea, mutta arvioidaan:) \[ \int_0^1 e^{-x^2} \, dx \leq \int_0^1 1 \, dx = 1 \]
  - toisessa käytetään majoranttia \(e^{-x}\):
    - koska \(0 \leq e^{-x} \leq e^{-x^2}\) kaikilla \(x\geq 1\), on \[ 0 \leq \int_1^{\infty} e^{-x^2} \, dx \leq \int_1^{\infty} e^{-x} = \lim_{R\to \infty} \int_1^R e^{-x} \, dx \\ = \lim_{R\to \infty} \bigg/_{\!\!\!\!\!1}^R -e^{-x} = \lim_{R\to \infty} (e^{-1}- e^{-R}) = \frac1e . \]
- Siis \[ 0 \leq \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx \leq 1 + \frac{1}{e} . \]

Suppeneeko \[ \int_1^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x+x^3}} \, ? \]
- Strategia: käytetään majoranttia \(\frac1{\sqrt{x^3}}= \frac{1}{x^{\frac32}}\), jonka epäoleellinen integraali välillä \([1,\infty[\) suppenee (\(\,\frac{3}{2}>1\,\), ks. "Tärkeitä esimerkkejä" yllä tai laske itse).
- Lasku: \[ \frac{1}{\sqrt{x+x^3}} \leq \frac{1}{\sqrt{x^3}} \quad \text{kaikilla } x \geq 0, \] joten majoranttiperiaatteen mukaan \[ \int_1^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x+x^3}} \leq \int_1^{\infty} x^{-\frac32}\, dx = \ldots = 2 \] eli suppenee.
Suppeneeko \[ \int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x+x^3}} \, ? \]
- Tutkittava paloissa, koska "epäoleellisuus" kummassakin päässä.
- Eri keinot eri paloissa: \[ \frac{1}{\sqrt{x+x^3}} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}, \quad \text{kun } 0 < x \leq 1 \] ja \[ \frac{1}{\sqrt{x+x^3}} \leq \frac{1}{\sqrt{x^3}}, \quad \text{kun } x \geq 1, \] kuten yllä.
- Laske itse yksityiskohdat.
  - Epäoleellinen integraali suppenee ja sen arvo on \(\,\leq 4\).

5. Numeerisesta integroinnista sekä sovelluksia (tilavuus)

numeerisen integroinnin menetelmiä ja virhearviointia
- puolisuunnikassääntö
- Simpsonin sääntö
epäoleellinen integraali ja numeerinen integrointi
pyörähdyskappaleen tilavuus
tilavuuden laskeminen integroimalla

[A, 6.6, 6.7, (6.8), 7.1, 7.2]

5.1 Numeerisesta integroinnista

5.1.1 Miksi?

Kaikkia kiinnostavia funktioita ei "osata integroida"
- eli antiderivaattaa ei osata (/ei ole mahdollista!) kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla
- esim. \[ \frac{1}{\log x} , \quad e^{x^2}, \quad \frac{e^x}{x}, \quad \frac{\sin x}{x}, \quad \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \]
- Nämä ovat kuitenkin (määrittelyjoukoissaan) jatkuvia funktioita, joten määrätty integraali sopivalla välillä on määritelty,
  - esim. \(\,\int_1^2 e^{-x^2} \, dx\,\) tai \(\,\int_3^7 \frac{1}{\log x}\, dx\,\)
  - Nämä ovat siis lukuja! Mitä lukuja?
    - Miten luku tai edes sen likiarvo saadaan selville, kun antiderivaatta ei ole käytettävissä?

Usein sovelluksissa tarvitaan likiarvoja integraaleille, joita ei osata laskea symbolisesti eli tarkasti antiderivaatan avulla (kuten yllä).
Joskus tarvitaan myös integraalien arvoja funktioille, joiden lauseketta ei tunneta, mutta joiden arvoja tunnetaan / voidaan laskea joissakin pisteissä, ja ehkä muita ominaisuuksia (kuten jatkuvuus) tunnetaan.

5.1.2 Mitä tehdään?

Korvataan integroitava funktio \(f\) toisella funktiolla \(\tilde{f}\)
- sellaisella, jonka integraali osataan laskea
ja arvioidaan syntynyttä virhettä \[ E = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b \tilde{f} (x) \, dx. \]
Tässä siis luku \(\int_a^b \tilde{f} (x) \, dx\) on integraalin \(\int_a^b f(x) \, dx\) likiarvo.
Virhe \(|E|\) yritetään saada mahdollisimman pieneksi
- niin pieneksi kuin kulloinkin on tarpeen.
Mitä "siistimpi" funktio \(f\) on, sitä parempia arvioita saadaan
- eli sitä tarkempia likiarvoja integraalille \(\int_a^b f(x) \, dx\) samalla laskentatyöllä.
- "siistimpi" \(\approx\) jatkuva, derivoituva, \(n\) kertaa derivoituva...

5.1.3 Menetelmiä

Vertaillaan muutamia menetelmiä
1. kuinka hyviä likiarvoja saadaan samalla laskentatyöllä
  - "laskentatyö" \(\approx\) kuinka monta kertaa funktion \(f\) arvo joudutaan laskemaan
    - \(\approx\) käytettyjen osavälien määrä \(n\)
2. mitä ominaisuuksia funktiolta \(f\) vaaditaan, jotta menetelmää voidaan käyttää
  - jatkuvuus, derivoituvuus jne.
Merkinnät:
- jaetaan väli \([a,b]\) yhtäsuuriin osiin, joita on \(n\) kpl
- kunkin osavälin pituus on siis \[ h=\frac{b-a}{n} \]
- jakopisteet (\(n+1\) kpl) \[ x_j = a + j \cdot \frac{b-a}{n} = a+jh, \quad j = 0, 1, \ldots , n \]

5.1.3.1 Suorakaidesääntö

Käytetään nk. porrasfunktioita
- kuten määrätyn integraalin määritelmässä; vaikkapa \[ \tilde{f} = f(x_j), \quad \text{ kun } \, x \in ]x_{j-1}, x_j] . \]
Funktion \(\tilde{f}\) integraali on "suorakaiteiden alojen summa" (jos \(\tilde{f}\geq 0\); neg. vast.) eli \[ \int_a^b \tilde{f} (x) \, dx = h (f(x_1) + f(x_2) + \ldots f(x_n)) . \]
Oletetaan, että funktio \(f\) on
- jatkuva välillä \([a,b]\) ja
- derivoituva välillä \(]a,b[\) ja
- lisäksi \(|f'(x)| \leq M\) kaikilla \(x \in ]a,b[\).
Tällöin virheelle pätee \[ |E| \leq \frac{M(b-a)^2}{2} \cdot \frac{1}{n} \]
- eli laskentatyön suhteen virhe on \(|E| \lesssim \frac{1}{n}\)
  - eli tarkkuuden parantaminen yhdellä desimaalilla vaatisi kymmenkertaisen laskentatyön.
Oletuksena riittää, että
- \(f'\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja lisäksi
- \(-M \leq f'(x) \leq M\), kun \(x\in [a,b]\).
Parempiakin likiarvoja saadaan porrasfunktioilla, jos \(f''\) on jatkuva
- ks. "Midpoint rule", [A, s. 372-3]

5.1.3.2 Puolisuunnikassääntö

Käytetään murtoviiva-approksimaatiota: \[ \tilde{f} (x) = f(x), \quad \text{ kun } x = x_0, x_1, \ldots, x_n \]
- ja näiden pisteiden välillä kuvaaja \(y=\tilde{f}(x)\) on jana.
Nyt \(\,\int_a^b \tilde{f}(x) \, dx\,\) on puolisuunnikkaiden alojen summa (jos \(\tilde{f} \geq 0\); neg. vast.)
- \(j\):nnen puolisuunnikkaan ala on \[ h \cdot \frac{f(x_j) + f(x_{j-1})}{2} \, . \]
Integraalin \(\,\int_a^b f(x) \, dx\,\) likiarvo on siis \[ T_n = h \left( \tfrac12 f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1}) + \tfrac12 f(x_n) \right) \]
Oletetaan, että
- \(f\) on kahdesti jatkuvasti derivoituva välillä \([a,b]\) ja
- \(|f''(x)| \leq M\) välillä \([a,b]\).
Tällöin virheelle pätee \[ |E| \leq \frac{M(b-a)^3}{12} \cdot \frac{1}{n^2} . \]

5.1.3.3 Simpsonin sääntö

Käytetään paraabeleja
- eli \(\tilde{f}\) on toisen asteen polynomi
- paraabelin määräämiseen tarvitaan kolme pistettä eli paraabeli ulottuu kahden osavälin yli
  - piirrä kuva!
- käytetään siis vain parillisia lukuja \(n\)
Kolmen pisteen \((x_1, y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3, y_3)\) kautta kulkee tasan yksi paraabeli
- (paitsi jos pisteet ovat samalla suoralla, jolloin ei kulje yhtään; tällöin käytetään suoraa)
- Ratkaistaan toisen asteen polynomin \(\,g(x)=Ax^2+Bx+C\,\) kertoimet yhtälöryhmästä \(g(x_1)=y_1, \, g(x_2)= y_2, \, g(x_3)=y_3\) .
  - Tämä tehdään siis kullakin osaväliparilla erikseen; saadaan \(\frac{n}{2}\) paraabelia, joista \(\tilde{f}\) paloittain muodostuu.
Toisen asteen polynomi osataan integroida!
Integraalin \(\, \int_a^b f(x) \, dx\,\) likiarvoksi saadaan \[ S_n = \frac{h}{3} (f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + 4 f(x_3) + 2f(x_4) + \ldots + 2 f(x_{n-2}) + 4 f(x_{n-1}) + f(x_n)) \]
Oletetaan, että
- \(f\) on neljästi jatkuvasti derivoituva ja
- \(|f^{(4)} (x)| \leq M\) välillä \([a,b]\).
Tällöin virheelle pätee \[ |E| \leq \frac{M(b-a)^5}{180} \frac{1}{n^4} . \]

5.1.4 Epäoleellinen integraali ym. outoa ja numeerinen integrointi

Edellä numeerista integrointia tehtiin vain (tavalliselle) määrätylle integraalille
- eli sekä integroimisväli että integroitava funktio olivat rajoitettuja.
Menetelmän virhettä arvioitiin käyttäen tietoa funktion derivaatasta;
- derivaatta oli rajoitettu eli \(|f'(x)|\leq M\).

Entä jos väli taikka funktio tai sen derivaatta ei ole rajoitettu?

Epäoleellista integraalia tutkittaessa pitää ensin selvittää suppeneminen
- jos ei suppene, ei likiarvoistakaan ole iloa...
- jos suppenee:
  - joskus muuttujanvaihdolla saadaan epäoleellinen integraali muutettua tavalliseksi määrätyksi integraaliksi (jota ei välttämättä osata laskea symbolisesti)
    - tällöin em. numeerinen integrointi ja virheanalyysi käyttöön
  - myös rajoittamaton väli voidaan muuttujanvaihdolla vaihtaa rajoitetuksi väliksi
Kun derivaatta ei ole rajoitettu
- voi muuttujanvaihto auttaa tähänkin vaivaan.

Esimerkkejä [A, 6.8]

5.1.5 Yhteenveto

Numeerinen integrointi antaa likiarvon määrätyn integraalin arvolle \(\,\int_a^b f(x) \, dx\).
Laskennassa käytetään funktion \(\,f\,\) arvoja joissakin pisteissä.
Mitä tarkempi likiarvo halutaan, sitä useammassa pisteessä funktion arvo pitää laskea.
- Tämä on laskennan "hinta" (aika).
Mitä siistimpi funktio \(f\), sen vähemmällä työllä saadaan hyviä likiarvoja integraalille, kun käytetään tehokkaampaa menetelmää.
Laskentaohjelmistoissa on erilaisia hienostuneempiakin numeerisen integroinnin menetelmiä, joissa on erilaisia ohjausmahdollisuuksia (laskentatarkkuus, laskentapisteiden keskittäminen, ...)
- Maxima-esimerkit kotisivulla
Yllä mainittujen menetelmien käytöstä ynnä muusta lisää sekä esimerkkejä [A, 6.6-6.8]

Yleisemmin approksimoinnista:

Tieto likiarvon tarkkuudesta on yhtä tärkeä kuin itse likiarvo.
- Tuttujen likiarvojen (esim. \(\pi \approx 3{,}14159\)) tarkkuus tunnetaan (vain viimeinen desimaali voi heittää pyöristyksen vuoksi)
  - Numeerinen menetelmä antaa myös "vääriä desimaaleja".
- Virhearvion avulla saadaan väli, jolla tuntematon arvo varmasti on.
- Lisää mm. kursseilla Calculus 2 (luvut 6 ja 13), Symbolinen laskenta, Numeeriset menetelmät (TIEA381), ...

5.2 Pyörähdyskappaleen tilavuus

Kertaa käsitteet
- suora särmiö
  - suorakulmainen särmiö
- lieriö
  - suora lieriö
    - suora ympyrälieriö
- kartio
  - ympyräkartio
  - suora ympyräkartio
  - pyramidi
- pallo
Kertaa myös em. kappaleiden tilavuuksien laskeminen, esim.
- lieriö:
  - \(V=Ah\)
- pallo:
  - \(V=\frac43 \pi r^3\)
sekä pinta-alojen laskeminen, erityisesti
- ympyrä:
  - \(A=\pi r^2\)
- suoran ympyrälieriön vaipan ala:
  - \(A=2\pi r h\)

5.2.1 Tilavuus "viipaloinnin avulla"

Kappaleen tilavuus voidaan laskea poikkileikkausten pinta-aloja integroimalla: \[ V=\int_a^b A(x) \, dx , \] jos
- se sijaitsee koordinaatistossa tasojen \(x=a\) ja \(x=b\) välissä ja
- kohdassa \(x=x_0\) sen \(x\)-akselia vastaan kohtisuora poikkileikkaus on pinta-alaltaan \(A(x_0)\).

5.2.2 Pyörähdyskappale

Kun tasoalue pyörähtää (kolmiulotteisessa) avaruudessa suoran ympäri, näin syntyvää kolmiulotteisa kappaletta kutsutaan pyörähdyskappaleeksi.
Usein tarkastellaan käyrien \(y=f(x)\), \(y=0\), \(x=b\) ja \(x=b\) rajaaman tasoalueen pyörähtämistä
- \(x\)-akselin ympäri, tai
- \(y\)-akselin ympäri.

Esimerkkejä

Piirrä kappale, joka syntyy, kun
- käyrien \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=0\) ja \(x=4\) rajaama tasoalue pyörähtää \(x\)-akselin ympäri;
  - "ruukku kyljellään"
- käyrien \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=1\) ja \(x=4\) rajaama tasoalue pyörähtää \(x\)-akselin ympäri;
  - "tasapohjainen ruukku kyljellään"
- käyrien \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=1\) ja \(x=4\) rajaama tasoalue pyörähtää \(y\)-akselin ympäri;
  - "reikäleipä".

5.3 Pyörähdyskappaleen tilavuus 1 (x-akselin ympäri)

Kun käyrien \(y=f(x)\), \(y=0\), \(x=a\) ja \(x=b\) rajaama tasoalue pyörähtää \(x\)-akselin ympäri, syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus on \[ V=\pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx . \]
- Idea: poikkileikkauksen pinta-ala on ympyrä, jonka säde on \(|f(x)|\).

Esimerkkejä

Laske \(a\)-säteisen pallon tilavuus pyörähdyskappaleen tilavuuden kaavan avulla.
Laske sen "äärettömän torven" tilavuus, joka syntyy käyrien \(y=\frac1x\), \(y=0\) ja \(x=1\) rajaaman pinta-alan pyörähtäessä \(x\)-akselin ympäri.
- Tulos on \(\pi\)
  - äärellinen, vaikka pyörähtävän tasoalueen pinta-ala on ääretön (?)

[A, s. 394-5]

5.4 Pyörähdyskappaleen tilavuus 2 (y-akselin ympäri)

Oletetaan, että
- \(\,0 \leq a < b\,\) ja
- \(\,f(x)\geq 0\), kun \(x \in [a,b]\).
Tällöin käyrien \(y=f(x)\), \(y=0\), \(x=a\) ja \(x=b\) rajaaman tasoalueen pyörähtäessä \(y\)-akselin ympäri syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus on \[ V=2\pi \int_a^b xf(x) \, dx . \]
- Idea: kappale koostuu ympyrälieriöistä, joiden pohjan säde on \(x\) ja korkeus \(f(x)\)
  - vaipan ala siis \(2\pi x f(x)\)

Huomautus

Jos voidaan ratkaista \(x\) yhtälöstä \(y=f(x)\) eli saadaan \(x=g(y)\), voidaan myös soveltaa edellisen kohdan kaavaa (+mieti, miten).
- Tämä on joskus vaikeaa tai jopa mahdotonta.
Entä, jos \(y\)-akselin ympäri pyörähtääkin tasoalue, jonka rajaavat \(y=f(x)\), \(x=0\), \(y=c\) ja \(y=d\) ?

Esimerkkejä

Torus: Ympyrä, jonka keskipiste on \((0,b)\) ja säde \(a\) (\(0<a<b\)), pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske näin syntyvän "donitsimaisen" kappaleen tilavuus.
Paraboloidi: tasoalue, jota rajoittavat ehdot \(x^2\leq y \leq 1\) ja \(0\leq x \leq 1\), pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske näin syntyvän maljamaisen kappaleen tilavuus.
- Mitkä ovat käyrät, joiden rajaaman tasoalueen pyörähtämisestä on kysymys?

[A, s. 397-398]

5.5 Käyrien väliin jäävän tasoalueen pyörähtäminen

Oletetaan, että \(\, 0 \leq f(x) \leq g(x)\), kun \(\, 0 \leq a \leq x \leq b\).
- Kun käyrien \(\,y=f(x)\), \(\,y=g(x)\), \(\,x=a\,\) ja \(\,x=b\,\) rajaama tasoalue pyörähtää
  - \(x\)-akselin ympäri, \[ V= \pi \int_a^b ((g(x))^2 - (f(x))^2) \, dx \]
  - \(y\)-akselin ympäri, \[ V= 2 \pi \int_a^b x(g(x) - f(x)) \, dx \]
Oletetaan, että \(\, 0 \leq h(y) \leq k(x)\), kun \(\, 0 \leq c \leq y \leq d\).
- Kun käyrien \(\, x=h(y)\), \(\, x=k(y)\), \(\, y=c\,\) ja \(\,y=d\,\) rajaama tasoalue pyörähtää
  - \(x\)-akselin ympäri, \[ V= 2 \pi \int_c^d y(k(y) - h(y)) \, dy \]
  - \(y\)-akselin ympäri, \[ V= \pi \int_c^d ((k(y))^2 - (h(y))^2) \, dy . \]
Piirrä kuvat!

5.6 Muiden kappaleiden tilavuuksia

Myös muiden kuin pyörähdyskappaleiden tilavuuksia voidaan laskea viipaloimalla: \[ V=\int_a^b A(x) \, dx , \] jos
- kappale sijaitsee koordinaatistossa tasojen \(x=a\) ja \(x=b\) välissä ja
- kohdassa \(x=x_0\) sen \(x\)-akselia vastaan kohtisuora poikkileikkaus on pinta-alaltaan \(A(x_0)\).
  - Toki x-akselin sijasta voidaan käyttää jotakin muuta akselia/suoraa.
Esim. kartion tilavuus: \[ V= \frac13 Ah \]
- perustele viipaloinnin avulla
  - yhdenmuotoisuus, suhdelukuna \(\frac{x}{h}\), kun asetetaan \(x=0\) kartion huipussa ja \(x=h\) kartion pohjalla.

[A, 7.2 (kartioesimerkki s. 401)]

6. Lisää integraalilaskennan sovelluksia (pituus ja pinta-ala sekä sovelluksia eri aloilta)

käyrän pituus (y=f(x))
pyörähdyskappaleen pinta-ala
sovelluksia
- massa, massakeskipiste, momentti, tiheys
- paine, työ, energia
- diskonttauksesta
- todennäköisyyslaskennasta

[A, 7.3-7.8]

6.1 Käyrän pituus (y=f(x))

6.1.1 Johdattelua

Funktion \(\,f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\) kuvaaja on tasokäyrä, jonka määräävät ehdot \[ y=f(x), \quad x \in [a,b] \]
- siis ne pisteet \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), jotka toteuttavat yo. yhtälön ja joilla \(\, a\leq x \leq b\).
Mikä on tämän käyrän pituus?
Esim.
- käyrän \(\, y = x-2\), \(\,1 \leq x \leq 4\) pituus on helppo laskea: merkinnällä \(y=f(x)\) se on pisteiden \((1,f(1))\) ja \((4,f(4))\) välinen etäisyys eli \(3\sqrt{2}\), koska käyrä on jana (suoran osa).
- vastaavasti käyrän \(y=f(x)\), missä \[ f(x) = \begin{cases} x+1, \quad \text{ kun } x \in [2,3] \text{ ja }\\ -3x+13, \quad \text{ kun } x \in ]3, 16] \end{cases} \] pituus voidaan laskea laskemalla suorien palojen pituudet yhteen.
Entä vaikkapa \(f(x)=x^2\), \(x \in [0,2]\)?
- Käyrä ei koostu "suorista paloista", vaan "kaartuu". Pituus?

6.1.2 Tasokäyrän pituus murtoviiva-approksimaationa

Murtoviiva-approksimaatio:
- valitaan käyrältä \(n\) pistettä
- yhdistetään pisteet janoilla
- lasketaan janojen pituudet \(\,p_1\), \(p_2\), \(\ldots, \, p_n\,\) yhteen
  - murtoviivan pituus on \[ L_n=\sum_{j=1}^n p_j \]
  - Piirrä kuva!
Käyrän pituus \(s\):
- "murtoviiva-approksimaatioiden raja-arvo"
- \(s\) on pienin luku, jolle \[ L_n \leq s \] kaikilla murtoviiva-approksimaatioilla \(L_n\)
  - eli kaikilla \(n\), valittiinpa pisteet käyrältä miten tahansa
- aina ei löydy
  - (yhtään lukua \(s\), jolle \(L_n \leq s\,\) kaikilla \(n\); eli "\(L_n\to \infty\)").
Ei onnistu kaikille käyrille; ei edes kaikille jatkuvien funktioiden kuvaajille rajoitetulla välillä
- esim. \(\sin \frac1x\), kun \(\, x \in ]0,1]\), tai \(\, x^2 \sin \frac1x\)
- jos pituus \(\,s\,\) on äärellinen, sanomme käyrää suoristuvaksi
- onnistuu, jos \(f'\) on jatkuva.

6.1.3 Laskukaava käyrän y=f(x) pituudelle

Oletetaan, että \(f\) on jatkuvasti derivoituva välillä \([a,b]\).
Käyrän \(\, y= f(x)\), \(x \in [a,b]\,\) pituus on \[ L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx \]
- Perustelun idea:
  - Murtoviiva-approksimaatiossa ensimmäisen palan janan pituus on \[p_1=\sqrt{(x_1-x_0)^2 + [f(x_1)-f(x_0)]^2} .\]
  - DVAL \(\implies\,\) \(f(x_1)-f(x_0) = f'(c_1) (x_1-x_0)\,\) jollakin \(c_1 \in [x_0, x_1]\).
  - Siis \[p_1 = (x_1-x_0) \sqrt{1+[f'(c_1)]^2}\] jollakin \(c_1 \in [x_0, x_1]\).
  - Murtoviivassa janojen pituuksien summa \[L_n = \sum_{j=1}^n p_j \longrightarrow \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx ,\] kun \(\, n\to \infty\).

Muistisääntö

\[ (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 \quad \implies ds = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] \[ s = \int_{x=a}^{x=b} ds \]

6.1.4 Esimerkkejä

Käyrän \(\,y=x^4 + \frac{1}{32 x^2}\,\) pituus, kun \(\,x \in [1,2]\) ?
- Merkitään \(y=f(x)\), jolloin \(f'(x) = 4x^3 - \frac{1}{16x^3}\).
- Lasku sievenee mukavasti (laske itse välivaiheet): \[ s = \int_1^2 \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx = \ldots = \int_1^2 (4x^3+ \frac{1}{16x^3}) \, dx = \ldots = 15 + \frac{3}{128} . \]
+Käyrän \(\,y=x^2\,\) pituus, kun \(\, x \in [0, 2]\) ?
- Merk. \(\, f(x) = x^2\), jolloin \(\, f'(x) = 2x\).
- Pituus on siis \[ s= \int_0^2 \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx = \int_0^2 \sqrt{1+4x^2} \, dx . \]
- Sijoituksella \(2x = \sinh u\) sekä kaavojen \(\, \cosh^2 u -\sinh^2 u = 1\), \(\,\cosh 2u = 2 \cosh^2 u -1\), \(\,\sinh 2u = 2 \sinh u \,\cosh u\,\) ja \(\, \operatorname{arsinh} u = \log(x+\sqrt{x^2+1})\,\) avulla saadaan \[ s = \frac14 \bigg/^2_{\!\!\!\! 0} \left(2x\sqrt{1+(2x)^2} + \operatorname{arsinh} (2x)\right) = \sqrt{17} + \frac14 \log( 4+ \sqrt{17}). \]
  - Vaikea! Usein käyrän pituus (neliöjuuri...) johtaa hankaliin integraaleihin.
    - Ensimmäisen esimerkin lauseke oli huolellisesti valittu (esim. vakiokerroin 32), jotta sieveni mukavasti.
    - Usein joudutaan integroimaan numeerisesti.

+Ellipsin \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) kehän pituus?
- ylempi puolikas on funktion \(\,f(x) = b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,\) kuvaaja
- Kehän neljäsosa (merk. \(K\)) on käyrän \[ y= f(x) = \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \] pituus, kun \(x \in [0, a]\).
  - Piirrä kuva!
- Käyrän pituuden kaavan mukaan \[ K = \int_0^a \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2} \frac{x^2}{a^2-x^2}} \, dx . \] Sijoituksella \(x = a \sin u\) ja laskemalla saadaan \[ K = a\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\varepsilon^2 \sin^2 u} \, du , \] missä \(\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\) on ellipsin eksentrisyys, \(0\leq\varepsilon < 1\).
  - Tätä ei osata laskea symbolisesti! (Paitsi jos \(\varepsilon = 0\), jolloin kyse on ympyrästä.)
- Ellipsillä on kuitenkin jokin kehän pituus, joka siis riippuu puoliakseleiden \(a\) ja \(b\) pituudesta. Merkinnällä \[ E(\varepsilon) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\varepsilon^2 \sin^2 u} \, du \] saadaan \(K=4aE(\varepsilon)\).
  - \(E(\varepsilon)\) on (toisen lajin täydellinen) elliptinen integraali.
- Erikoisfunktioiden kuten elliptisten integraalien sekä vaikkapa standardinormaalijakauman kertymäfunktion \(\,\Phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx\,\) arvoja voidaan
  - laskea numeerisesti ja
  - niitä on myös taulukoitu valmiiksi.

6.2 Pyörähdyspinnan pinta-ala

Pyörähdyspinta
- pinta, joka syntyy, kun tasokäyrä pyörähtää suoran ympäri.
Pyörähdyspinnan ala
- vastaavan pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala
  - (eli kappaleen pinta-ala "ilman päätyjä").

6.2.1 Laskukaava pyörähdyspinnan pinta-alalle

\(x\)-akselin ympäri

Oletetaan, että \(f\) on jatkuvasti derivoituva välillä \([a,b]\).
Käyrän \(y=f(x)\) pyörähtäessä \(x\)-akselin ympäri syntyvän pyörähdyspinnan ala on \[ A = 2 \pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx . \]
- Perustelun idea:
  - kuvaajalle \(y=f(x)\) murtoviiva-approksimaatio kuten edellä
    - murtoviivan pyörähdyspinta koostuu paloista, joista jokainen on katkaistun ympyräkartion vaippa
    - ensimmäisen "suikaleen" pinta-ala \(\pi (f(x_0)+f(x_1))p_1 \approx 2\pi f(x_1) p_1\)
      - katkaistun kartion sivujana on \(\;p_1\), vrt. käyrän pituus
      - pohjan säde on \(|f(x_1)|\)

\(y\)-akselin ympäri

Oletetaan, että \(f\) on jatkuvasti derivoituva välillä \([a,b]\).
Käyrän \(y=f(x)\) pyörähtäessä \(y\)-akselin ympäri syntyvän pyörähdyspinnan ala on \[ A = 2 \pi \int_a^b |x| \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx . \]
- Perustelun idea:
  - kuvaajalle \(y=f(x)\) murtoviiva-approksimaatio kuten edellä
    - murtoviivan pyörähdyspinta koostuu paloista, joista jokainen on katkaistun ympyräkartion vaippa
    - ensimmäisen "suikaleen" pinta-ala \(\pi (x_0+x_1)p_1 \approx 2\pi x_1 p_1\)
      - katkaistun kartion sivujana on \(\;p_1\), vrt. käyrän pituus
      - pohjan säde on \(x_1\)

6.2.2 Esimerkkejä

Pallon pinta-ala, kun säde on \(a\) ?
- Pallopinta syntyy käyrän \(\,y=\sqrt{a^2-x^2}\,\) pyörähtäessä \(x\)-akselin ympäri.
- \(f(x) = \sqrt{a^2-x^2} \geq 0\) kaikilla \(x \in [-a,a]\), \(f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\) \[ \begin{array}{rl} A &= 2 \pi \int_{-a}^a f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx \\ &= 2 \pi \int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2}} \, dx \\ &= 2 \pi \int_{-a}^a a \, dx = 4 \pi a^2 . \end{array} \]
Paraabelin pyörähdyspinnan ala: käyrä \(\,y=x^2\), \(\,0\leq x \leq 1\,\) pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske syntyvän pyörähdyspinnan pinta-ala.
- Tulos on \(\, \frac{\pi}{6}(5 \sqrt{5}-1)\).

[A, s. 409-410]

6.3 Muita integraalilaskennan sovelluksia

Fysiikka
- Massa: tiheyden integraali
  - massa: \(m=\int \rho(P) dV\), missä \(P\) on paikka ja tiheys \(\rho\) vaihtelee
    - kolmiulotteinen tilanne
  - momentti (origossa, yksiulotteinen tilanne): \(M_{x=0} = \int_a^b x \rho(x) dx\)
  - massakeskipiste: \(\bar{x} = \frac{M_{x=0}}{m} = \frac{\int_a^b x \rho(x) dx}{\int_a^b \rho(x) dx}\)
  - lisää aiheesta ja esimerkkejä [A, 7.4]
  - tarvittaisiin pian jo vektoricalculusta...
- Jos tiheys on vakio, massakeskipiste on samalla geometrinen painopiste:
  - tasokuviolle \(0 \leq y \leq f(x)\), \(\,a\leq x \leq b\) geometrinen painopiste on \((\bar{x}, \bar{y})\)
    - \(\bar{x} = \frac{M_{x=0}}{A}\), \(\bar{y} = \frac{M_{y=0}}{A}\)
      - \(A = \int_a^b f(x) \, dx\)
      - \(M_{x=0} = \int_a^b xf(x) \, dx\)
      - \(M_{y=0} = \frac12 \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)
  - origokeskisen \(a\)-säteisen ympyrän (kiekon) ylemmän puolikkaan painopiste on kohdassa \((0, \frac{4a}{3\pi})\).
- Lisää fysikaalisia sovelluksia [A, 7.4-7.6]
Taloustiede
- Diskonttaus:
  - tulevien rahavarojen arvo tänään?
  - \(Arvo = \int_0^T e^{-\delta t} P(t) dt\)
    - \(\delta\) korko (vuodessa)
    - \(T\) aika (vuosina)
    - \(P(t)\) tulevat rahat (hetkellä (t))
- Lisää taloustieteen sovelluksia [A, 7.7]
Todennäköisyys:
- Satunnaismuuttujan \(X\) jakauma: "mitä arvoja \(X\) saa ja millä todennäköisyydellä".
- Todennäköisyys \[ \mathbb{P} (a < X \leq b) = F(b)-F(a) = \int_a^b f(x) dx, \] jos \(f\) on satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio.
- Esim. tasajakauma välillä \([1,4]\): \[ \mathbb{P}(X \leq y) = \frac{y-1}{3} = \int_a^y \frac{1}{3} \, dx \]
  - tiheysfunktio \(f(x) = \frac13\)
  - kertymäfunktio \(F(y) = \int_1^y f(x) \,dx\).
- Esim. standardinormaalijakauma
  - tiheysfunktio \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\)
  - kertymäfunktio \(F(y) = \int_{-\infty}^y f(x) \,dx\).
- [A, 7.8]

6.4 Integraalilaskennan kertaus

Jos ehditään, kerrataan integrointitekniikoita ja niihin liittyviä strategioita sekä muuta integraalilaskentaan liittyvää osallistujien toiveiden mukaan.

7. Kartioleikkaukset

kartioleikkaukset
- paraabeli
- ellipsi
- hyperbeli

[A, 8.1]

7.0.1 Muistutus

Kurssin Calculus 1 alussa kerrattiin tasoon \(\mathbb{R}^2\) liittyviä käsitteitä (luku 2), jotka kannattaa nyt palauttaa mieleen.

7.1 Kartio ja sen leikkaaminen

Mikä on kartio?
Mitä tarkoittaa leikkaaminen?
Millaiset "leikkaukset" kartiosta saadaan?

7.1.1 Toisen asteen kahden muuttujan polynomiyhtälö

Yhtälön \[ Ax^2+ Bxy + Cy^2+Dx+Ey+F = 0 \] ratkaisujoukko tasossa eli joukko \[\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon Ax^2+ Bxy + Cy^2+Dx+Ey+F = 0\}\] on jokin seuraavista:
- tyhjä joukko (mikään tason piste \((x,y)\) ei toteuta yhtälöä)
- piste
- suora
- kaksi suoraa
- paraabeli
- ympyrä
- ellipsi
- hyperbeli

Esimerkkejä

Yhtälöllä \(\,3x^2+y^2+1=0\,\) ei ole ratkaisuja. (Miksi ei?)
Yhtälön \(\, x^2+y^2=9\,\) ratkaisujoukko on 3-säteinen ympyrä.
- Pisteet, joiden etäisyys origosta on 3.
Yhtälön \((x-y)(2x-y+1)=0\) ratkaisujoukon muodostavat ne pisteet \((x,y)\), joille \[ x-y = 0 \quad \text{ tai } \quad 2x-y+1=0 \] eli suorat \(y=x\) ja \(y=2x+1\).

Samaistamme yhtälön ja sen ratkaisujoukon tavanomaiseen tapaan
- eli puhumme vaikkapa "ympyrästä \(x^2+y^2=9\)".

# Paraabeli

7.2 Paraabeli

Paraabeli:
- ne tason pisteet, jotka ovat yhtä kaukana annetusta pisteestä ja annetusta suorasta.
Näitä annettuja tietoja kutsutaan nimillä
- polttopiste ja
- johtosuora.
Lisäksi käytämme nimityksiä
- akseli
  - suora, joka kulkee polttopisteen kautta ja on kohtisuorassa johtosuoraa vastaan
    - "pääakseli", "symmetria-akseli"
- huippu
  - paraabelin ja akselin leikkauspiste
  - on aina polttopisteen ja johtosuoran puolivälissä.
Erikoistapaus: kun johtosuora on vaakasuora, paraabelin yhtälö on muotoa \[ y=ax^2+bx+c \]
- tämä on tuttu toisen asteen polynomifunktion kuvaaja; akseli on pystysuora.
Täsmällisemmin merkinnöin
- paraabeli on niiden tason pisteiden \(P\) joukko, jotka ovat yhtä kaukana annetusta pisteestä \(F\) ja annetusta suorasta \(L\), eli \[ |PF| = \text{pisteen } P \text{ etäisyys suorasta } L . \]

Paraabelin yhtälö

Kirjoita paraabelin yhtälö, kun polttopiste on \(F=(a,0)\) ja johtosuora \(L\) on \(x=-a\).
- Piirrä kuva (oleta aluksi, että \(a>0\)).
- Jotta \((x,y)\) on paraabelin piste, se on yhtä kaukana polttopisteestä ja johtosuorasta eli \[ \sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2} = x-(-a) . \]
  - Tästä saadaan yhtälö \(y^2=4ax\), eli \(4ax-y^2 = 0\), tai \(x = \frac{1}{4a} y^2\).
- Miten tilanne muuttuu, jos onkin \(\,a<0\,\)?

Alla olevassa GeoGebra-esimerkissä voit kokeilla, miten polttopisteen tai johtosuoran siirtäminen vaikuttaa paraabeliin.

# geo2

7.2.1 Paraabelin heijastusominaisuus

Miten valo heijastuu suorasta peilistä?
Miten valo heijastuu peilistä, jos peilipinnan muoto on pyörähdyspinta, joka syntyy paraabelin pyörähtäessä?
- Akselin suuntaisesti tuleva valonsäde heijastuu polttopisteeseen
  - (jos säde tuli paraabelin polttopisteen puolelta; jos ulkopuolelta, heijastus poispäin polttopisteestä).
- Vastaavasti polttopisteestä tuleva valonsäde heijastuu akselin suuntaisesti.

Perustelu [A, s. 460-461], "valo kulkee nopeinta tietä".

# geo3

7.3 Ellipsi

Ellipsi:
- niiden pisteiden \(P\) joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta (annetusta) polttopisteestä \(F_1\) ja \(F_2\) on annettu vakio \(C\): \[ |PF_1|+|PF_2|=C . \]

Ellipsin yhtälö

Kirjoita ellipsin yhtälö, kun polttopisteet ovat \(F_1=(-c,0)\) ja \(F_2=(c, 0)\) ja etäisyyksien summa mistä tahansa ellipsin pisteestä näihin polttopisteisiin on \(C= 2a\). Oletetaan, että \(a>c\).
- Piirrä kuva:
  - ellipsi kulkee pisteiden \((a,0)\) ja \((-a, 0)\) kautta
    - (mistä tiedät?)
  - ja myös pisteiden \((0,b)\) ja \((0, -b)\) kautta, missä \(b^2= a^2-c^2\).
- Jos piste \(P=(x,y)\) on ellipsillä, niin \[ \sqrt{(x-c)^2+ y^2} + \sqrt{(x-(-c))^2+y^2} = 2a . \] Tästä saadaan (laskemalla) \[ (a^2-c^2)x^2+a^2 y^2 = a^2(a^2-c^2) \] eli (tiedon \(b^2= a^2-c^2\) avulla) \[ b^2x^2+a^2 y^2 = a^2b^2 \] eli \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
  - tuttu ellipsin yhtälö, vrt. Calculus 1, kohta 2.8.

Lisää käsitteitä

Luvut \(a>0\) ja \(b>0\) (yllä) ovat ellipsin puoliakseleiden pituudet
- "isoakseli" ja "pikkuakseli"
  - Isoakseli kulkee polttopisteiden kautta, pikkuakseli sitä vastaan kohtisuorassa.
  - Isoakseli on ellipsin "suurin pituus" (pisin etäisyys ellipsin pisteiden välillä).
Polttopisteiden puolivälissä on ellipsin keskipiste (yllä origo).
Ellipsin muotoa kuvaa eksentrisyys \(\varepsilon\): yllä \[ \varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \] (yleisemmin \(\varepsilon\) on polttopisteiden etäisyyden suhde isoakselin pituuteen).
- Aina \(\varepsilon \in [0, 1[\).
- Jos \(\varepsilon= 0\), ellipsi on ympyrä.
- Mitä suurempi \(\varepsilon\), sitä soikeampi ellipsi.

Alla olevassa GeoGebra-esimerkissä muodostetaan ellipsi kahden polttopisteen \(F_1\), \(F_2\) ja ellipsillä sijaitsevan pisteen \(Q\) avulla. Kokeile, miten näiden pisteiden siirtely vaikuttaa ellipsin muotoon. Tarkastele myös pisteen \(P\) etäisyyttä polttopisteistä.

# geo6

Ellipsin heijastusominaisuus

Ellipsin yhdestä polttopisteestä tuleva valonsäde heijastuu toiseen polttopisteeseen.
- Ts. ellipsille pisteeseen \(P\) piirretty normaali puolittaa kulman \(F_1 P F_2\)

Perustelu [A, s. 463] (valo kulkee nopeinta (lyhintä) reittiä).

+ Ellipsin johtosuorat

Paraabeli määriteltiin yhden polttopisteen ja johtosuoran avulla.
- Paraabelin pisteellä \(P\) on sama etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta.
  - Etäisyyksien suhde on siis 1.
Ellipsillä on kaksi polttopistetta ja kaksi johtosuoraa.
- Ellipsin pisteellä \(P\) etäisyyksien suhde polttopisteeseen ja vastaavaan johtosuoraan on eksentrisyys \(\varepsilon\).
- Esim. ellipsin \(\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1\) johtosuorat ovat \(x=\frac{a}{\varepsilon}\) ja \(x=-\frac{a}{\varepsilon}\), missä \(\varepsilon\) on ellipsin eksentrisyys.
Paraabeli on siis "ellipsi, jonka eksentrisyys on 1"
- toinen polttopiste ja johtosuora ovat karanneet "äärettömään".
- Vrt. kartion leikkaaminen vinosti \(\to\) juuri oikeassa kulmassa, jotta saadaan paraabeli (leikkaava taso "yhdensuuntainen kartion sivujanan kanssa").

7.4 Hyperbeli

Hyperbeli:
- niiden pisteiden \(P\) joukko, joilla etäisyyksien erotus kahdesta (annetusta) polttopisteestä \(F_1\) ja \(F_2\) on annettu vakio \(C\): \[ \bigg| |PF_1|-|PF_2| \bigg|=C . \]

Hyperbelin yhtälö

Kirjoita hyperbelin yhtälö, kun polttopisteet ovat \(F_1=(-c,0)\) ja \(F_2=(c, 0)\) ja etäisyyksien erotus mistä tahansa hyperbelin pisteestä näihin polttopisteisiin on \(C= 2a\). Oletetaan, että \(a < c\).
- Piirrä kuva:
  - hyperbeli kulkee pisteiden \((a,0)\) ja \((-a, 0)\) kautta
    - (mistä tiedät?)
  - hyperbeli ei leikkaa \(y\)-akselia
    - (mistä tiedät?)
- Jos piste \(P=(x,y)\) on hyperbelillä, niin \[ \sqrt{(x-c)^2+ y^2} - \sqrt{(x-(-c))^2+y^2} = 2a \quad \text{tai } -2a. \] Tästä saadaan (laskemalla) \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 , \] missä \(b^2= c^2-a^2\).
  - Tuttu hyperbelin yhtälö, vrt. Calculus 1, kohta 2.9.

Alla olevassa GeoGebra-esimerkissä muodostetaan hyperbeli kahden annetun polttopisteen \(P\) ja \(Q\) sekä hyperbelillä olevan annetun pisteen \(C\) avulla. (Pisteen \(C\) sijasta voitaisiin antaa etäisyyksien erotus.) Kokeile, miten näiden pisteiden sijainnin muuttaminen vaikuttaa hyperbelin muotoon. Tarkastele myös (minkä tahansa hyperbelillä olevan) pisteen \(R\) etäisyyttä polttopisteistä.

(Alla olevassa GeoGebra-esimerkissä merkinnät siis poikkeavat edellä esitetystä: hyperbelin polttopisteitä on merkitty kirjaimilla \(P\) ja \(Q\) sekä hyperbelillä olevia pisteitä kirjaimella \(R\). Siis janojen \(PR\) ja \(QR\) pituuksien erotus on sama kaikille pisteille \(R\), jotka ovat tällä hyperbelillä.)

# geo10

Lisää käsitteitä

Hyperbelin \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
- huiput ovat pisteet \((a,0)\) ja \((-a, 0)\)
  - huippujen välinen jana on englanniksi "transverse axis", tehtävissä on käytetty suomennosta "isoakseli"; oikeampi suomennos lienee "poikittaisakseli".
- keskipiste on polttopisteiden puoliväli (tässä origo)
- asymptootit ovat suorat \[ \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \quad \text{ ja } \quad \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 . \]
  - Huomaa, että nämä suorat ovat
    - yhtälön \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\) ratkaisujoukko
    - suorakaiteen \(\,[-a,a]\times[-b,b]\,\) lävistäjäsuorat.
Hyperbelin \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] liittohyperbeli on hyperbeli \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \]
- samat asymptootit, mutta tämä hyperbeli leikkaa \(y\)-akselia, ei \(x\)-akselia (mistä näet?)
- polttopisteet \((0,c)\) ja \((0,-c)\)
- huiput \((0,b)\) ja \((0,-b)\).

Hyperbelin heijastusominaisuus

Hyperbelin yhdestä polttopisteestä lähtenyt valonsäde heijastuu niin, että se näyttää tulevan toisesta polttopisteestä.

Perustelu [A, s. 465]

+ Hyperbelin eksentrisyys ja johtosuora

Hyperbelin \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] eksentrisyys on \[ \varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \]
- huomaa, että hyperbelille \(\varepsilon > 1\).
Saman hyperbelin johtosuorat ovat \[ x = \frac{a}{\varepsilon} \quad \text{ ja } \quad x = -\frac{a}{\varepsilon} \]
Yleisemmin: kuten ellipsille, jokaisen hyperbelin pisteen etäisyyksien suhde lähempään polttopisteeseen ja vastaavaan johtosuoraan on \(\varepsilon\).

7.5 Esimerkkejä

Tunnista käyrä \[ x^2+2y^2+6x-4y+7=0 . \]
- Täydennetään neliöksi: \[ x^2 + 6x +9+2y^2-4y +2=9+2-7 \\ \iff (x+3)^2+ 2(y-1)^2 = 4 \]
- Jaetaan oikean puolen vakiolla: \[ \frac{(x+3)^2}{4}+ \frac{(y-1)^2}{2} = 1 \\ \iff \frac{(x+3)^2}{2^2}+ \frac{(y-1)^2}{(\sqrt{2})^2} = 1 \]
- Siis käyrä on ellipsi, jonka keskipiste on \((-3, 1)\) ja puoliakselit \(a=2\) ja \(b=\sqrt{2}\).
- Entä polttopisteet?
  - Koska \(c=\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}\), polttopisteet ovat \((-3+\sqrt{2}, 1)\) ja \((-3-\sqrt{2}, 1)\).
- Piirrä kuva.

Huom. Jos toisen asteen yhtälössä \[ Ax^2+Bxy + Cy^2+Dx+Ey+F=0 \] on
- \(B=0\) eli \(xy\)-termiä ei esiinny lainkaan, käyrän pääakselit ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset kuten edellä
- \(B\not = 0\) eli \(xy\)-termi on näkyvissä, käyrää on "kierretty" (esim. ellipsin polttopisteet ovat suoralla, joka ei ole kummankaan koordinaattiakselin suuntainen)
  - esim. \(xy=1\) on hyperbeli, jonka polttopisteet ovat \((\sqrt{2}, \sqrt{2})\) ja \((-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\) ja asymptootit koordinaattiakselit.
  - Lisätietoa+ [A, s. 466-8].

Huomaa myös

kurssin kotisivulle lisätty tiivistelmä kartioleikkauksista.

8. Parametrisoitu käyrä

tasokäyrän parametriesitys
käyrän sileys
käyrän tangentti ja normaali
käyrän kuperuus
- käyrän hahmottelemisesta
käyrän pituus
pyörähdyskappaleen pinta-ala
käyrän rajaama pinta-ala

[A, 8.2-8.4]

8.0.1 Lämmittelytehtävä

Kuvittele, että katselet muurahaisen kuljeskelua minuutin ajan.
- Piirrä muurahaisen kulkema reitti.
- Anna piirros toiselle opiskelijalle.
Tutki saamaasi piirrosta.
- Missä muurahainen oli havaintominuutin alkaessa?
- Entä puolivälissä?
- Missä muurahainen piti taukoa?
  - Et näe näitä kuvasta (ilman lisämerkintöjä)

8.1 Käyrän parametriesitys

Käyrän pisteen \(P=(x,y)\) koordinaatit on nyt annettu funktioina \[ x \colon [a,b] \to \mathbb{R}, \quad y \colon [a,b] \to \mathbb{R} \]
- Siis \[ x=f(t), \quad y=g(t), \quad t \in [a,b] . \]
Välin \([a,b]\) sijasta määrittelyjoukko voi olla myös rajoittamaton väli (tai avoin / puoliavoin)
- käytetään merkintää \(\,I\,\) (väli).
Yhtälöt \(\,x=f(t), \, y=g(t)\,\) ovat käyrän parametriset yhtälöt.
Yhtälöissä esiintyvä muuttuja \(\,t\,\) on parametri.
Huomaa ero:
- "Käyrä" = pistejoukko (tasossa)
- "Parametrisoitu käyrä" = funktiopari
  - enemmän tietoa kuin vain pistejoukossa (esim. "suunta", "paikka hetkellä \(t\) ")

Esimerkkejä

Tunnista ja piirrä käyrä \[ x=3\cos t,\quad y = 3\sin t, \quad t \in [0, \tfrac{3\pi}{2}] . \]
- Käyrä on origokeskisen 3-säteisen ympyrän kehästä kolme neljännestä lähtien pisteestä \((3,0)\) vastapäivään.
- Voit laskea pisteitä: kun \(t=0\), saadaan piste \((3,0)\) jne.
- Voit myös tutkia, minkä yhtälön koordinaatit toteuttavat: \[ x^2 + y^2 = 9 \cos^2 t+ 9 \sin^2 t = 9 \]
  - ympyrän yhtälö!
Tunnista ja piirrä käyrä \[ x=t^2-1,\quad y = t+1, \quad t \in ]-\infty, \infty[ . \]
- Eliminoidaan muuttuja \(t\):
  - jälkimmäisestä yhtälöstä ratkaistu \[ t = y-1 \] sijoitetaan ensimmäiseen:
    \[ x=t^2-1 = (y-1)^2 -1 = y^2-2y. \] Tämä on paraabelin yhtälö (avautuu oikealle, akseli \(y=1\), huippu \((-1,1)\) ).
- Koska parametri \(t \in ]-\infty, \infty[\), käyrä on koko paraabeli,
  - suunta "alhaalta oikealta ylös oikealle".

Tunnista ja piirrä käyrä \[ x=a\cos t,\quad y = b\sin t, \quad t \in [0, 2\pi] . \]
- Huomataan, että \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \] eli käyrä on ellipsi, jonka puoliakselit ovat \(a\) ja \(b\) ja keskipiste origossa
  - (tai sen osa); koska \(t \in [0, 2\pi]\), kyseessä on koko ellipsi.
  - Vrt. esimerkki 1.
Hahmottele käyrä \(x=t^3-3t\), \(y=t^2\), \(t \in [-2,2]\).
- Laske pisteitä; yhtälöstä \(x^2 = y(y-3)^2\) ei osata tunnistaa (ei ole kartioleikkaus).
- [A, s. 470-1]
+Harrastustehtävä: Piirrä koneella jokin käyrä, vaikkapa \((x^2+y^2-1)^3+x^2 y^3=0\).
- Osaatko piirtää parametrisoidun käyrän koneella?
Jatkuvan funktion \(h\, \colon I \to \mathbb{R}\) kuvaajalle \(y=h(x)\) luonnollinen parametrisointi on \[ x=t, \quad y = h(t), \quad t \in I . \]

Huomautus

Sama tasokäyrä (=pistejoukko, joka toteuttaa jonkin yhtälön) voidaan esittää useamman eri parametrisaation avulla, esim:
- \(x=\cos t, \, y=\sin t, \, t \in [0, 2\pi]\\\)
- \(x=\sin u, \, y=\cos u, \, u \in [0, 2\pi]\\\)
- \(x=\cos 2t, \, y=\sin 2t, \, t \in [0, \pi]\\\)
- \(x=\sin u^2, \, y=\cos u^2, \, u \in [0, \sqrt{2\pi}]\\\)
- \(x=\cos (\pi u + 1), \, y=\sin (\pi u +1), \, t \in [-1, 1]\\\)
- \(x=\cos t, \, y=\sin t, \, t \in [0, 4\pi]\\\)
- \(x=1-t^2, \, y=t\sqrt{2-t^2}, \, t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)
  - ovat kaikki yksikköympyrän \(x^2+y^2= 1\) parametriesityksiä.
    - Tarkista itse laskemalla, että toteuttavat ympyrän yhtälön.\(\\\)
Parametrisoidut käyrät \(x=\cos t, \, y=\sin t, \, t \in [0, 2\pi]\) ja \(x=\cos 2t, \, y=\sin 2t, \, t \in [0, \pi]\) tuottavat samalla parametrin \(t\) arvolla (vaikkapa \(t = \frac{\pi}{2}\)) eri pisteet
- parametrisoidut käyrät eivät siis ole samat, vaikka niiden tuottamat tasokäyrät ("lopputulos") ovat samat.
Parametrisoitu käyrä sisältää siis "enemmän" tietoa kuin vastaava tasoyhtälö.
Jos tulkitaan \(t=\) aika ja \((x(t),y(t))=\) pisteen paikka hetkellä \(t\),
- tasokäyrä \[\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \colon \, x=x(t),\, y=y(t),\, t \in I\}\] on pisteen "jättämä jälki" aikavälillä \(I\).
- Mikä on pisteen nopeus hetkellä \(t\)?
- Entä kulkusuunta?

8.2 Käyrän sileys

Sanomme, että tasokäyrä on sileä, jos sillä on tangentti jokaisessa käyrän pisteessä \(P\)
- ja tämä tangentti(suora) "kääntyy jatkuvasti", kun piste \(P\) liikkuu käyrää pitkin.
  - (eli tangenttisuoran kaltevuuskulma on jatkuva funktio)
Esim. käyrä \(y=f(x)\) on sileä siellä, missä \(f'\) on olemassa ja jatkuva.
- Lisäksi esim. \(y=x^{\frac13}\) on sileä (kaikkialla)
  - origossa käyrällä on pystysuora tangentti, vaikka funktio \(f\) ei ole nollassa derivoituva.

8.2.1 Parametrisoidun käyrän sileys, tangentti ja normaali

Oletetaan, että \(f'\) ja \(g'\) ovat jatkuvia ja tarkastellaan parametrisoitua käyrää \[ x=f(t), \quad y=g(t), \quad t \in I . \]
- Jos \(f'(t) \not = 0\) välillä \(I\), niin parametrisoitu käyrä on sileä ja käyrällä on jokaisella hetkellä \(t\) pisteessä \((x(t), y(t))\)
  - tangenttisuora, jonka kulmakerroin on \[ \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)} . \]
- Jos \(g'(t) \not = 0\) välillä \(I\), niin parametrisoitu käyrä on sileä ja käyrällä on jokaisella hetkellä \(t\) pisteessä \((x(t), y(t))\)
  - normaalisuora, jonka kulmakerroin on \[ {-} \frac{dx}{dy} = - \frac{f'(t)}{g'(t)} . \]
- Siis sileys voi "särkyä" vain silloin, kun sekä \(f'(t) = 0\) että \(g'(t)=0\).
  - Vrt. "liike pysähtyy ja suunta vaihtuu".

Esimerkkejä

Tutki käyrää \[ x=f(t)=t^2, \quad y=g(t) = t^3 . \] Onko käyrä sileä? Eliminoi parametri ja hahmottele käyrä.
- Käyrä ei ole sileä, kun \(t=0\) (eli origossa \((0,0)\) ),
  - vaikka funktiot \(f\) ja \(g\) ovat jatkuvasti derivoituvia.
  - Kun \(t=0\), kummankin derivaatta saa arvon nolla.
Tutki vastaavalla tavalla käyrää \[ x=f(t)=t^3, \quad y=g(t) = t^6 . \]
- Mikä käyrä on kyseessä?
- Sileä, vaikka nytkin \(f'(0)=g'(0)=0\).

Huomautus

Kun \(f'(t)=0\) ja \(g'(t)=0\), käyrä \(x=f(t), \, y=g(t)\)
- voi olla sileä (Esim. 2 yllä)
- tai olla olematta sileä (Esim. 1 yllä).

8.2.2 Tangentin ja normaalin yhtälöt

Oletetaan, että \(f'\) ja \(g'\) ovat jatkuvia eivätkä molemmat nollia, kun \(t=t_0\).
- Käyrän tangenttisuoralla pisteessä \((f(t_0), g(t_0))\) on esitys \[ x=f(t_0) + f'(t_0)(t-t_0), \quad y = g(t_0) + g'(t_0)(t-t_0), \quad t \in \mathbb{R} . \]
- Käyrän normaalisuoralla pisteessä \((f(t_0), g(t_0))\) on esitys \[ x=f(t_0) + g'(t_0)(t-t_0), \quad y = g(t_0) - f'(t_0)(t-t_0), \quad t \in \mathbb{R} . \]
  - Kun \(t=t_0\), kumpikin esitys tuottaa pisteen \((f(t_0), g(t_0))\); suorat siis leikkaavat ko. pisteessä (kuten kuuluukin).
  - Suorat voitaisiin parametrisoida toisinkin, esim. tangenttisuora \[ x=f(t_0) + f'(t_0) s, \quad y = g(t_0) + g'(t_0) s, \quad s \in \mathbb{R} . \]
    - Tämä esitys tuottaa pisteen \((f(t_0), g(t_0))\), kun \(s=0\).

Esimerkki

Selvitä käyrän \(x=t^2-t, \, y = t^2+t\) tangentti- ja normaalisuorien yhtälöt, kun \(t=2\).
- Käyrän piste on \((2,6)\).
- Tangettisuora: \(x = 3t-4, \, y = 5t-4\)
- Normaalisuora: \(x = 5t-8, \, y = -3t+12\)

8.2.3 Käyrän hahmottelusta

Käyrän yksittäisten pisteiden laskemisen lisäksi voidaan selvittää
- missä käyrällä on vaakasuora tangentti, missä pystysuora
  - siis missä \(g'(t)=0\), missä \(f'(t) = 0\) ;
- mihin suuntaan käyrä kulkee milläkin parametrin arvoilla
  - Kun \(f'\) ja \(g'\) ovat jatkuvia, niiden merkki vaihtuu vain nollakohdissa
  - \(f'(t) > 0 \implies\) vaakasuunnassa piste liikkuu oikealle;
    - muut suunnat vastaavasti.

Esimerkki

Hahmottele (jo aiemmin nähtyä) käyrää \[x=t^3-3t, \quad y=t^2, \quad t \in [-2,2]\] koordinaattifunktioiden derivaattojen avulla.
- Kulkukaavio!
  - [A, s. 478]

8.2.4 Käyrän kuperuus

Kuten funktion kuvaajan, myös parametrisoidun käyrän kuperuus saadaan toisen derivaatan avulla:\(\\\)
- jos \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\) välillä \(I\), käyrä on alaspäin kupera (konveksi) välillä \(I\);\(\\\)
- jos \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\) välillä \(I\), käyrä on ylöspäin kupera (konkaavi) välillä \(I\).\(\\\)
Toisen derivaatan laskeminen: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{f'(t) g''(t) - f''(t) g'(t)}{[f'(t)]^3} , \] kun \(f'(t) \not = 0\).
- [A, s. 477-8]

8.3 Käyrän pituus (parametrisoitu käyrä)

Oletetaan, että käyrä on sileä eli että \(f'\) ja \(g'\) ovat jatkuvia välillä \([a,b]\) ja että \(f'\) ja \(g'\) eivät ole yhtäaikaa nollia millään \(t\in ]a,b[\).

Käyrän \(\,x=f(t), \, y=g(t), \, t \in [a,b]\,\) (kaaren)pituus on \[ s = \int_a^b \sqrt{\left[ f'(t) \right]^2 + \left[ g'(t) \right]^2} \, dt . \]
- Idea:
  - murtoviiva-approksimaatio kuten aiemmin \[ \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= f'(t) \approx \text{ käyrän muutos vaakasuunnassa} \\ \frac{dy}{dt} &= g'(t) \approx \text{ käyrän muutos pystysuunnassa} \end{align*} \] (+Pythagoraan lause)

Esimerkki

Käyrän \[x = e^t \cos t, \quad y= e^t \sin t, \quad t \in [0,2]\] pituus?
- Tulos on \(\sqrt{2}(e^2-1)\).
  - [A, s. 480]

8.4 Pyörähdyspinnan ala

Jos käyrä \(\,x=f(t), \, y=g(t), \, t \in [a,b]\,\) pyörähtää
- \(x\)-akselin ympäri, \[ A = 2\pi \int_a^b |g(t)| \sqrt{\left[ f'(t) \right]^2 + \left[ g'(t) \right]^2} \, dt \]
- \(y\)-akselin ympäri, \[ A = 2\pi \int_a^b |f(t)| \sqrt{\left[ f'(t) \right]^2 + \left[ g'(t) \right]^2} \, dt \]
  - vrt. funktion kuvaajan pyörähtäessä syntyvän pinnan ala (aiemmin).

8.5 Käyrän sisään jäävän tasoalueen pinta-ala

Oletetaan, että \(f\) on derivoituva ja \(g\) on jatkuva, ja että käyrä \[ x=f(t), \quad y=g(t), \quad t \in [a,b] \] leikkaa itseään vain välin päätepisteissä
- eli \[f(a)=f(b) \quad \text{ja} \quad g(a)=g(b),\] mutta millään muilla parametrin \(t\) arvoilla \(t_1,\,t_2\) ei ole sekä \(f(t_1)=f(t_2)\) että \(g(t_1)=g(t_2)\).
Kuinka suuri on käyrän rajaama tasoalue?
- Jos käyrä kuljetaan myötäpäivään, \[ A = \int_a^b g(t)f'(t) \, dt . \]
- Jos käyrä kuljetaan vastapäivään, \[ A = - \int_a^b g(t)f'(t) \, dt . \]
  - pinta-ala on sama, mutta integraalit ovat eri suuntiin kuljettaessa vastakkaismerkkiset.

[A, s. 481-2]

9. Napakoordinaatit

tason napakoordinaatit
- tason pisteen napakoordinaatit
- tasokäyrän yhtälö napakoordinaattimuodossa
(parametrisoitu) käyrä napakoordinaateissa
- kierto ja skaalaus
- käyrän tangentti
- käyrän rajaama pinta-ala
- käyrän pituus

[A, 8.5-8.6]

9.1 Tason pisteen napakoordinaatit

Tasossa \(\mathbb{R^2}\) voidaan käyttää
- karteesisten koordinaattien \((x,y)\) (ks. Calculus 1, luku 2) sijasta
- napakoordinaatteja \([r, \theta]\)
  - eli pisteen \(P\) paikka tasossa ilmaistaan
    - etäisyyden \(r\) (origosta) ja
    - kulman \(\theta\) (positiiviseen vaaka-akseliin nähden) avulla
      - (\(\theta =\) kreikan theta).
Siis pistettä \(P=[r,\theta]\) napakoordinaateissa vastaa piste \((x, y)= (r \cos \theta, r \sin \theta)\) karteesisissa koordinaateissa
- eli \(P=[r,\theta]=(x,y)\), kun \[ \begin{align*} x &= r \cos (\theta) \\ y &= r \sin (\theta) \end{align*} \] ts. \[ \begin{align*} r^2 &= x^2+y^2 \\ \tan \theta &= \frac{y}{x} \quad \text{ (melkein)} \end{align*} \]

Esimerkki

Karteesisissa koordinaateissa annetun pisteen \(P=(0,5)\) napakoordinaatit ovat \(P=[5, \frac{\pi}{2}]\).
- Piirrä kuva!
Entä pisteen \(Q=(-1, -1)\) napakoordinaatit?
- \(Q = [\sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4}] = [\sqrt{2}, -\frac{3 \pi}{4}]\).

Huomautuksia

Karteesiset koordinaatit ovat yksikäsitteiset
- eli \((x_1,y_1) = (x_2,y_2) \iff x_1=x_2 \,\text{ ja } \,y_1=y_2\),
mutta napakoordinaatit eivät ole:
- esim. \([r, \theta] = [r, \theta + 2n\pi]\), jos \(n \in \mathbb{Z}\)
  - kuten edellä esimerkissä 2 huomattiin (vastaavasti myös esimerkille 1).
- rajoittamalla \(0 \leq \theta < 2\pi\), \(r \geq 0\) saadaan yksikäsitteiset koordinaatit (paitsi origolle)
  - voitaisiin valita myös vaikkapa \(-\pi < \theta \leq \pi\).
"Aina" \(r\geq 0\)
- mitä tarkoittaa \(r=0\) ?
- \(\big(\)joskus myös \(r<0\); tällöin "vastakkainen suunta", siis \([r, \theta] = [-r, \theta + \pi]\)
  - lisää merkintöjä samalle pisteelle
    - esim. \([-1, \frac{\pi}{3}] = [1, \frac{4\pi}{3}]\big)\).
Merkintä hakasulkujen \([\, ,]\) avulla ei ole yleisesti käytössä napakoordinaateille
- on kuitenkin viisasta merkitä jollakin tavalla, kumpi koordinaatisto on käytössä
  - tällä kurssilla voi käyttää merkintää \([,]\).
- Muita vaihtoehtoja:
  - sanallisesti
  - alamerkinnällä: \((,)_{napa}\)
  - (joskus ymmärrettävä asiayhteydestä / valituista kirjaimista...)
- Esim. merkitse tasoon piste \((1,1)\),
  - jos on käytetty napakoordinaatteja ja
  - jos on käytetty karteesisia koordinaatteja.
    - Eri piste!

9.2 Tasokäyrän yhtälö napakoordinaateissa

Tasokäyrän yhtälö voidaan antaa karteesisten koordinaattien sijasta napakoordinaateissa:

Esimerkkejä

Yksikköympyrä: \[ x^2+y^2 = 1 \iff r=1, \quad \text{ kun } x = r\cos \theta, \, y = r \sin \theta \]
Suoran \(y = 2x - 3\) eli \(2x - y = 3\) yhtälö napakoordinaateissa on \[ r (2 \cos \theta - \sin \theta ) = 3 \] eli \[ r = \frac{3}{2 \cos \theta - \sin \theta} . \]
Mikä on napakoordinaateissa annetun käyrän \(\,r = 10 \cos \theta\,\) karteesinen yhtälö?
- Muokataan kertomalla puolittain luvulla \(\,r\): \[ r^2 = 10 \, r \cos \theta \]
- Sijoitetaan \(\,r^2 = x^2+y^2\,\) ja \(\,r \cos \theta = x\): \[ x^2+y^2 = 10 x \] eli \[ (x-5)^2 + y^2 = 25 \]
  - ympyrä, keskipiste \(\,(5,0)\), säde \(\,5\).

Mitä käyriä vastaavat karteesiset yhtälöt \(\, x = a\,\) tai \(\, y = b\,\)?
- Entä napakoordinaattiyhtälöt \(\, r= a\,\) tai \(\,\theta = \beta\,\)?
  - Edellinen on \(a\)-säteinen origokeskinen ympyrä.
  - Jos sallitaan vain \(r\geq 0\), jälkimmäinen on origosta alkava puolisuora, jonka "nousukulma" on \(\beta\); jos myös \(r <0\), koko suora.
    - Leikkauspisteet toteuttavat molemmat yhtälöt eli yhtälöparin.

Huomautus

Karteesisen koordinaatiston "viivasto" piirretään vaaka- ja pystysuorilla viivoilla
- \("x= \text{vakio}"\) ja \("y= \text{vakio}"\).
Napakoordinaatistossa
- ympyrät
  - \(r = \text{vakio}\)
- ja origosta lähtevät puolisuorat
  - \(\theta = \text{vakio}\).

Lisää esimerkkejä

Hahmottele käyrä \(\,r = 1-\cos \theta\), \(\,\) kardioidi.
- Ei auta siirtyä karteesisiin koordinaatteihin, \((x^2+y^2+ x)^2 = x^2+y^2\)
  - (ei tunnisteta).
- Hahmotellaan laskemalla pisteitä (tai koneella).
- "Piikki" origossa "suunnasta \(\theta = 0\)";
  - \(r = 1-\cos \theta = 0\), kun \(\,\theta =0\).
Piirrä (koneen avulla) käyrät
- \(r=\cos (2 \theta)\)
- \(r = \sin (3\theta)\)
- \(r^2 = \cos (2\theta)\)
  - ja merkitse suunnat, joista käyrä lähestyy origoa
    - eli millä \(\theta\) saadaan \(r=0\).
Piirrä (koneen avulla) spiraalit
- \(r = \theta\,\) ja
- \(r = e^{-\frac{\theta}{3}}\)
  - miten eksponentin etumerkki vaikuttaa?

9.3 Napakoordinaateissa annettu käyrä

Napakoordinaattiyhtälö pyritään ratkaisemaan muuttujan \(r\) suhteen: \[ r = f(\theta) \]
Tämä on "valmiiksi parametrisoidussa muodossa": parametrin \(t\) avulla olisi \[ r(t) = f(t), \quad \theta(t) = t \]
- yleensä käytetään suoraan muotoa \(r = f(\theta)\) eli "parametrina" on itse kulma \(\theta\).

9.3.1 Kuvion kierto ja skaalaus napakoordinaateissa

Napakoordinaateissa annettu käyrä \[ r=f(\theta-\theta_0) \] on käyrä \(r=f(\theta)\) kierrettynä kulman \(\theta_0\) verran origon ympäri.

Esimerkkejä

Vertaa kardioideja \(\,r=1- \cos \theta\,\) ja \(\,r=1-\cos(\theta - \frac{\pi}{4})\)
- sekä \(r=1-\cos(\theta - \theta_0)\) myös muilla kulman \(\theta_0\) arvoilla.
Vertaa myös kardioideja \(\,r=1- \cos \theta\,\) ja \(\,r=3(1- \cos \theta)\,\).
- Miten kerroin \(a>0\) vaikuttaa käyrässä \(r=a f(\theta)\) ?

9.3.2 Napakoordinaateissa annetun käyrän tangenttisuora (+)

Tarkastellaan napakoordinaateissa annettua käyrää \(\,r=f(\theta)\).
Jos \(P\) on käyrällä eikä ole origo:
- pisteessä \(P\) käyrän tangenttisuoran ja origosta pisteeseen \(P\) kulkevan suoran välinen kulma on \(\psi\):
  - jos \(f'(\theta) \not = 0\), niin \[ \tan \psi = \frac{f(\theta)}{f'(\theta)} \]
  - ja jos \(f'(\theta)=0\), niin \(\psi = \frac{\pi}{2}\)
    - eli tangentti on kohtisuorassa origosta tulevaa janaa vastaan.
Origossa:
- jos käyrällä on tangentti origossa ja \(f(\theta_0)=0\), niin
  - tangenttisuoran yhtälö on \(\theta = \theta_0\).
Joskus on helpompi käyttää karteesisia koordinaatteja: \[ x= r \cos \theta = f(\theta) \cos \theta , \quad y= r \sin \theta = f(\theta) \sin \theta \quad \]

Esimerkki

Missä kardioidilla \(r=1+\cos \theta\) on vaakasuora, missä pystysuora tangentti?
- Voidaan laskea karteesisissa koordinaateissa kuten aiemmin;
  - vaakasuora tangentti, kun \(\frac{dy}{dt}=0\)
  - pystysuora tangentti, kun \(\frac{dx}{dt}=0\)
- [A, s. 491]

9.3.3 Napakoordinaateissa annetun käyrän sisään jäävä pinta-ala

Käyrän \(r=f(\theta)\) ja säteiden \(\theta = \alpha\) ja \(\theta=\beta\) rajaaman tasoalueen pinta-ala on \[ A = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 \, d \theta , \] kun \(\alpha < \beta\).
- Perustelun idea:
  - ympyräsektorin pinta-ala on \[\frac{\gamma}{2\pi} \, \pi r^2 = \frac12 r^2 \gamma,\] kun \(\gamma\) on sektorin keskuskulma.

Esimerkki

Kardioidin \(r=a (1+\cos \theta)\) sisäänsä sulkeman alueen pinta-ala?
- Kuvio on symmetrinen vaaka-akselin suhteen, \[ A= 2 \cdot \frac12 \int_0^{\pi} a^2 (1+\cos \theta)^2 d \theta = \ldots = \frac{3 \pi a^2}{2} . \]

9.3.4 Napakoordinaateissa annetun käyrän pituus

Käyrän \(r = f(\theta)\), \(\theta \in [\alpha, \beta]\) pituus on \[ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[f'(\theta)]^2 + [f(\theta)]^2} \, d\theta \]

Esimerkki

Kardioidikäyrän \(r=a (1+\cos \theta)\) pituus?
- Symmetria kuten edellä, \[ s = 2 \int_0^{\pi} \sqrt{[-a \sin(\theta)]^2 + [a(1+\cos(\theta))]^2} \, d\theta = \ldots = 8a \]
  - käytä tietoa \(1+\cos \theta = 2 \cos^2(\tfrac{\theta}{2})\).

Huomautus

Joskus sanotaan, että "käyrä on annettu napakoordinaattimuodossa", vaikka käytetään karteesisia koordinaatteja; tällöin tarkoitetaan muotoa \[ x= r(t) \cos(t), \quad y=r(t) \sin(t) . \]

10. Lukujonot, -sarjat ja suppeneminen

lukujono
- piirtäminen
- käsitteitä
- suppeneminen
- raja-arvon laskeminen
- muita tuloksia
lukusarja
- suppeneminen
- tärkeitä esimerkkejä
  - geometrinen sarja
  - harmoninen sarja
  - teleskooppisumma
- sarjan suppenemiseen liittyviä tuloksia

[A, 9.1-9.2]

10.1 Lukujono

Esimerkkejä

\(\,\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}\)
\(\,\{1,1,1,1, \ldots\}\)
\(\,\{\frac12, \frac14, \frac18, \ldots\}\)
\(\,\{1,3,5,7, \ldots\} = \{2n-1\}\)
\(\, \{1,1,2,3,5,8,13, \ldots\}\)

Lukujonon \(\,\{a_n\}\,\) termit (alkiot, jäsenet) voidaan antaa
- kirjoittamalla yleisen termin \(a_n\) lauseke indeksin \(n\) avulla,
  - esim. \(a_n = 2n-1\),
- rekursiivisesti,
  - esim. \(a_1=1\), \(a_2=1\) ja \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), kun \(n \geq 3\)
- tai luettelemalla riittävän monta termiä jonon alusta, jotta "sääntö" käy selväksi.

10.1.1 Piirtäminen

Lukujonoa \(\{a_n\}\) voi havainnollistaa
- merkitsemällä jonon alkioita lukusuoralle tai
- merkitsemällä pisteitä \((n, a_n)\) tasolle.
Usein kannattaa laskea joitakin ensimmäisiä jonon alkioita joka tapauksessa.

10.1.2 Käsitteitä

Alla "kaikilla \(n\)" tarkoittaa "kaikilla \(n=1, 2, 3, \ldots\)"

Lukujono \(\{a_n\}\) on
- alhaalta rajoitettu luvulla \(L\), jos
  - \(a_n \geq L\) kaikilla \(n\)
    - tällöin \(L\) on (eräs) alaraja
- ylhäältä rajoitettu luvulla \(M\), jos
  - \(a_n \leq M\) kaikilla \(n\)
    - tällöin \(M\) on (eräs) yläraja
- rajoitettu, jos
  - \(\{a_n\}\) on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu
    - tällöin jollakin luvulla \(K\) on
      - \(|a_n| \leq K\) kaikilla \(n\)
        
        (ainakin luvulla \(K=\max \{|L|, |M|\}\))
- positiivinen, jos
  - \(a_n \geq 0\) kaikilla \(n\)
- negatiivinen, jos
  - \(a_n \leq 0\) kaikilla \(n\)
- kasvava, jos
  - \(a_{n+1} \geq a_n\) kaikilla \(n\)
- vähenevä, jos
  - \(a_{n+1} \leq a_n\) kaikilla \(n\)
- monotoninen, jos
  - \(\{a_n\}\) on kasvava tai vähenevä
- (merkiltään) vuorotteleva, jos
  - \(a_n a_{n+1} < 0\) kaikilla \(n\)
    - siis \(a_n>0\) ja \(a_{n+1}<0\) tai toisinpäin
      - erityisesti \(a_n \not = 0\) kaikilla \(n\).
Sanomme myös, että lukujono \(\{a_n\}\) on
- positiivinen jostakin alkaen, jos
  - \(a_n \geq 0\) kaikilla \(n \geq N\) jollakin luvulla \(N\)
- (muut vastaavasti).

10.1.3 Lukujonon suppeneminen

Jos lukujonon \(\{a_n\}\) alkiot \(a_n\) saadaan pysymään niin lähellä lukua \(L\) kuin halutaan pitämällä \(n\) tarpeeksi suurena, sanomme, että
- lukujono \(\{a_n\}\) suppenee kohti raja-arvoa \(L\), merkitään \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \] tai \[ a_n \to L, \, \text{ kun } n \to \infty \] tai lyhyesti \[ a_n \overset{n\to \infty}{\longrightarrow} L. \]
Jos lukujono ei suppene, sanomme, että se hajaantuu.
Huomaa yhteys funktion raja-arvoon: jos \(a_n = f(n)\) ja \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L, \] niin \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L. \]
- (käänteinen ei ole aina totta).

Esimerkkejä

\(\,\frac1n \to 0\), kun \(n \to \infty\)
\(\,\frac{n}{2n+1} \to \frac12\), kun \(n \to \infty\)
\(\,3 \to 3\), kun \(n \to \infty\)
Jono \(\{(-1)^n\}\) hajaantuu.
Jono \(\{\frac{n-1}{2}\}\) hajaantuu äärettömään.

10.1.4 Raja-arvon laskusääntöjä ym.

Kuten funktion raja-arvolle (ks. Calculus 1):

Jos \(\{a_n\}\) ja \(\{b_n\}\) suppenevat, niin \[ \begin{align*} \lim_{n\to \infty} (c \, a_n) &= c \, \lim_{n\to \infty} a_n \quad (\text{kun } c \text{ ei riipu luvusta } n) \\ \lim_{n\to \infty} (a_n+b_n) &= \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \\ \lim_{n\to \infty} (a_n b_n) &= \left( \lim_{n\to \infty} a_n \right) \left( \lim_{n\to \infty} b_n \right) \\ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{\lim_{n\to \infty} a_n }{\lim_{n\to \infty} b_n }, \quad \text{kun } \lim_{n\to \infty} b_n \not = 0. \end{align*} \]
Lisäksi
- jos \(\,a_n \leq b_n\,\) jostakin alkaen, ja molemmat jonot suppenevat, niin \[ \lim_{n\to \infty} a_n \leq \lim_{n\to \infty} b_n \]
  - ("järjestys säilyy"), ja
- jos \(\,a_n \leq b_n\leq c_n\,\) jostakin alkaen ja \[ \lim_{n\to \infty} a_n = L = \lim_{n\to \infty} c_n, \] niin \[ \lim_{n\to \infty} b_n = L \]
  - (suppiloperiaate).
Myös muut funktion raja-arvon etsimiskeinot ovat käytettävissä (ks. Calculus 1 ja 2).

10.1.5 Tuloksia

Jos lukujono suppenee, se on rajoitettu.
- Käänteinen ei ole totta!
Jos lukujono on monotoninen ja rajoitettu, se suppenee.
- Huom. jonon alkupään termit eivät vaikuta suppenemiseen
  - riittää siis, että jono on vaikkapa kasvava jostakin alkaen ja rajoitettu; tällöin jono suppenee.
Jos jono on (jostakin alkaen) kasvava, se joko
- on rajoitettu, ja siis suppenee, tai
- ei ole rajoitettu, ja hajaantuu äärettömään (kasvavuuden vuoksi).
Reaaliluvun \(x\) potenssien jonolle \(\{x^n\}\)
- jos \(|x| < 1\), niin \(x^n \to 0,\) kun \(n \to \infty\)
- jos \(x > 1\), niin \(x^n \to \infty,\) kun \(n \to \infty\)
- jos \(x < -1\), niin jono \(\{x^n\}\) hajaantuu, mutta ei äärettömään
  - merkki vuorottelee.
Kaikilla reaaliluvuilla \(x\) on \[ \frac{x^n}{n!} \to 0, \] kun \(n \to \infty\), missä \(n! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot \ldots \cdot n\), luvun \(n\) kertoma.
Tunnetaan: \[ \left( 1+\frac1n \right)^n \to e, \] kun \(n \to \infty\).
- Lukujonon suppeneminen pitäisi perustella (ei tällä kurssilla);
  - raja-arvolle on annettu nimi \(e\) ("Neperin luku"), likiarvo on \(e \approx 2{,}71828\).

10.2 Lukusarja

Lukusarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] on jonon \(\{a_n\}\) termien "ääretön summa": \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1+a_2+a_3+ \, \cdots \]
- on siis lyhennysmerkintä!
- Tulkitaan raja-arvona \[ \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^N a_n \]
- Mitä voi olla? Kuten raja-arvolle aina, tulos voi olla
  - äärellinen luku,
  - \(\infty\) tai \(-\infty\), tai
  - ei raja-arvoa (edes epäoleellista raja-arvoa \(\infty\) tai \(-\infty\); heilahtelu).
Osasummista käytetään usein merkintää \(S_n\): \[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_n . \]

10.2.1 Sarjan suppeneminen

Jos osasummien raja-arvo \(\lim_{n\to \infty} S_n\) on olemassa (äärellisenä lukuna \(L\)), sanomme, että
- sarja suppenee, ja
  - sarjan summa on \(L\);
- muutoin sarja hajaantuu
  - hajaantuu äärettömään, jos \(\lim_{n\to \infty} S_n = \infty\)
  - hajaantuu miinus äärettömään, jos \(\lim_{n\to \infty} S_n = -\infty\)
  - hajaantuu, jos edes epäoleellista raja-arvoa ei ole.
Siis \[ \text{sarja } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ suppenee } \iff \text{ osasummien jono } \{S_n\} \text{ suppenee} \] ja jos \(S_n \to L\), niin sarjan summa on \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L. \]
Merkintä: kuten epäoleelliselle raja-arvolle, käytämme merkintää \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty \] tarkoittaen, että sarja hajaantuu äärettömään, ja vastaavasti miinus äärettömään \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = - \infty. \]
- On hyvä silti merkitä perään "hajaantuu".

10.2.2 Geometrinen sarja

Jos lukujonon peräkkäisten termien suhde \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) on vakio, sanomme, että se on geometrinen jono: \[ a,\,\, ar,\,\, ar^2,\,\, ar^3,\,\, ar^4,\,\, \ldots \]
- luku \(r\) on jonon suhdeluku
- luku \(a\) on kerroin
- jonon \(n\):s termi on siis \(ar^{n-1}\).
Geometrisesta jonosta saatava lukusarja on nimeltään geometrinen sarja: \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a+ar+ar^2+ \ldots \]
Jos \(a=0\), kyseessä on nollasarja (joka suppenee, summa on nolla).
- Jos \(a\not = 0\), kerroin \(a\) ei vaikuta suppenemiseen, mutta summan arvoon kyllä.
Jos \(r \not = 1\), geometrisen sarjan \(n\):s osasumma on \[ S_n = \frac{a-ar^n}{1-r} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}. \]
- Suppenee, jos \(|r|<1\), jolloin \(r^n \to 0\) ja siis \(\,S_n \to \frac{a}{1-r}\).
- Muutoin hajaantuu, koska \(\{r^n\}\) ei suppene (ks. 10.1).
Jos \(r=1\), osasumma on \(S_n= a+a+a+\cdots + a =na \to \infty\) eikä sarja suppene.
Mistä näet, että \[ S_n = \frac{a-ar^n}{1-r} \, ? \]
- Laske ensin \(rS_n\) ja vähennä alkuperäisestä, termit kumoutuvat: \[ (1-r) S_n = a-ar^n \]

Geometrisen sarjan summa

Siis, kun \(a\not = 0\), \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \quad \begin{cases} = \frac{a}{1-r} \text{ (suppenee), kun } |r|<1 \\ = \infty \text{ (hajaantuu), kun } r\geq 1 \text{ ja } a>0 \\ = -\infty \text{ (hajaantuu), kun } r\geq1 \text{ ja } a<0 \\ \text{ hajaantuu, kun } r \leq -1. \end{cases} \]

Esimerkkejä

\[ 1+\frac12+\frac14+ \frac18+ \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac12 \right)^{n-1} = \frac{1}{1-\frac12} = 2 \]
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{2})^{n-1} = \infty \text{ (hajaantuu)} \]

10.2.3 Harmoninen sarja

Harmoninen sarja: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac1n = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots \]
- Tämä sarja hajaantuu (äärettömään), mutta hitaasti.
  - Perustelu:
    - \(a_1 = 1 \geq \frac12\), \(a_2 = \frac12 \geq \frac12\), \(a_3+a_4 = \frac13 + \frac14 \geq \frac12\)
    - niputtamalla termejä saadaan aina \(a_{2^{k-1}+1} + \cdots + a_{2^k} \geq \frac12\)
    - siis äärettömästi puolikkaita...
    - Toinen tapa: arvioidaan alhaalta integraalilla, \[S_n \geq \int_1^{n+1} \frac1x \, dx = \log (n+1) \to \infty.\]
      - [A, s. 508]
Siis \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac1n = \infty \quad \text{(hajaantuu)}. \]

10.2.4 Teleskooppisumma

Joskus summan termit "kumoutuvat": esim. \[ \sum_{n=1}^5 (\frac1n - \frac{1}{n+1}) = \ldots = 1- \frac{1}{6} . \]

Esimerkki

Näytä, että sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \] suppenee ja laske sen summa.
- Osamurtokehitelmä: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac{1}{n+1} \]
- Siis \[ S_n = \ldots = 1-\frac{1}{n+1} , \] josta nähdään, että \(S_n \to 1\), kun \(n \to \infty\), eli sarja suppenee ja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1. \]

10.2.5 Tuloksia

Nämä osaat perustella itsekin:

Jos sarja \(\sum a_n\) suppenee, niin \(a_n \to 0\).
- Käänteinen ei ole totta!
  - Vrt. harmoninen sarja.
- Seurauksia:
  - jos \(a_n \to a\not = 0\), niin sarja \(\sum a_n\) ei suppene
  - jos jono \(\{a_n\}\) ei suppene, niin sarja \(\sum a_n\) ei suppene
Sarja \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) suppenee \(\iff\) sarja \(\sum_{n=N}^{\infty} a_n\) suppenee
- alkupää ei vaikuta suppenemiseen (summan arvoon kyllä)
Positiiviset/negatiiviset termit:
- Jos jono \(\{a_n\}\) on (jostakin alkaen) positiivinen, niin
  - sarja \(\sum a_n\) joko
    - suppenee tai
    - hajaantuu äärettömään.
- Vastaavasti, jos jono \(\{a_n\}\) on (jostakin alkaen) negatiivinen, niin
  - sarja \(\sum a_n\) joko
    - suppenee tai
    - hajaantuu miinus äärettömään.

10.2.6 Laskusääntöjä ym.

Jos \(\,\sum a_n = A\,\) ja \(\,\sum b_n= B\,\) eli molemmat sarjat suppenevat, niin \[ \begin{align*} \sum c\, a_n &= c A \,\, \text{ (suppenee)}, \quad \text{ kun } c \text{ on vakio} \\ \sum ( a_n+b_n) &= A +B \,\, \text{ (suppenee)} \\ \end{align*} \]
- ja lisäksi \[ \text{ jos } a_n \leq b_n \text{ kaikilla } n=1, 2, 3, \ldots, \text{ niin } A \leq B. \]
- Nämä seuraavat suoraan raja-arvon laskusäännöistä.

Esimerkkejä

Laske summa \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^{n+1}}{3^n}. \]
- Kaksi geometrista summaa;
  - hajota, ota vakiokerroin summan eteen, käytä potenssin laskusääntöjä, siirrä indeksiä...
- Tulos on \(\frac12+4=\frac92\).
- [A, s. 509]

10.2.7 Suppenemisen tutkiminen

Suppeneeko sarja \(\sum a_n\) ?
- Pikatesti: meneekö termi \(a_n\) nollaan?
  - Jos ei, sarja ei suppene.
  - Jos menee, pitää tutkia tarkemmin.
- Osataanko laskea osasummat \(S_n\) ja niiden raja-arvo?
  - Onko tuttu sarja?
    - geometrinen
    - harmoninen
  - Onko teleskooppisumma?
- Saadaanko muokattua helpommaksi / tutuksi?
  - useammaksi summaksi
  - indeksin siirto, vakiokerroin, potenssin laskusäännöt, ...
  - teleskooppisumma?
- Voidaanko verrata tuttuun sarjaan?
  - geometrinen
  - harmoninen
- Lisää keinoja luvassa ensi luennolla.

11. Sarjojen suppenemistestejä

integraalitesti
ali- ja yliharmoninen sarja ("p-series")
majorantti-/minoranttitesti ("comparison test")
osamäärätesti ("limit comparison test")
suhde- ja juuritesti

[A, 9.3]

11.0.1 Kertaus

11.0.2 Geometrinen sarja

\[ 1+r +r^2 + r^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} = \frac{1}{1-r}, \quad \text{ kun } |r|<1, \] muutoin hajaantuu.

11.0.3 Harmoninen sarja

\[ 1 + \frac12+\frac 13 + \frac14 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \quad \text{ (hajaantuu)}. \]

11.0.4 Miksi?

Joskus sarjan summaa ei osata laskea (symbolisesti).
Tällöin halutaan tietää, suppeneeko sarja
- jolloin likiarvoja voidaan laskea numeerisesti
  - niin tarkasti kuin halutaan.
Millä keinoin suppenemista voidaan selvittää laskematta sarjan summaa?
Positiivitermisille sarjoille (eli \(\sum a_n\), missä \(a_n \geq 0\)):
- Vertaamalla sarjaan, jonka suppeneminen/hajaantuminen tunnetaan
  - majorantti-/minoranttitesti
  - osamäärätesti
- Tutkimalla sarjan termien käyttäytymistä
  - suhdetesti
  - juuritesti
- Tutkimalla vastaavaa epäoleellista integraalia, jos sen suppeneminen/hajaantuminen osataan selvittää
  - integraalitesti.

11.1 Integraalitesti

"Summa \(\approx\) integraali"
Tarkemmin: jos \(a_n = f(n)\) ja \(f\) on vähenevä, jatkuva ja positiivinen välillä \([1,\infty[\), niin \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ suppenee } \iff \int_1^{\infty} f(x) \, dx \, \text{ suppenee} \]
- Perustelun idea:
  - Piirrä kuva; suorakaiteiden pinta-alojen summa = sarjan summa
    - voit piirtää suorakaiteen \(a_n\) pisteen \(x=n\) vasemmalle tai oikealle puolelle
      - näin sarjan summa "arvioi" epäoleellista integraalia alhaalta tai ylhäältä.

Huomautuksia

Lisäys: koska alkupään termit eivät vaikuta sarjan suppenemiseen, riittää olettaa, että
- \(f\) on välillä \([N,\infty[\) vähenevä, jatkuva ja positiivinen, jolloin \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ suppenee } \iff \int_N^{\infty} f(x) \, dx \, \text{ suppenee} \]
Jos sarja (ja samalla epäoleellinen integraali) ei suppene, se hajaantuu äärettömään
- koska \(f\) on positiivinen eli sarjan termit ovat \(\geq 0\).
Vaikka epäoleellinen integraali (ja samalla siis sarja) suppenisi,
- sarjan summa ei yleensä ole sama kuin integraalin arvo!
Kun sarjan summaa ei osata laskea (symbolisesti), epäoleellisen integraalin "hännän" \(\,A_n=\int_n^{\infty} f(x) \, dx\,\) ja sarjan osasumman \(S_n\) avulla saadaan kuitenkin arvioitua sarjan summaa \(S\) numeerisesti: \[ S_n + A_{n+1} \leq S \leq S_n+A_{n} \]
- lisätietoja [A, s. 512-514].

11.2 Yli- ja aliharmoninen sarja

Yliharmoninen sarja: kun \(p > 1\), \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad \text{suppenee} . \]
Aliharmoninen sarja: kun \(p < 1\), \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad \text{hajaantuu} . \]
- Perustelu integraalitestin avulla: kun \(p \not = 1\), \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx = \lim_{R\to \infty} \bigg/_{\!\!\!\!1}^{R} \frac{1}{-p+1} x^{-p+1} = \frac{1}{1-p} (R^{1-p} - 1) \\ \begin{cases} & \to \infty, \text{ jos } p < 1 \\ & \to \frac{1}{p-1}, \text{ jos } p > 1 . \end{cases} \]

11.3 Majorantti- / minoranttitesti

Jos \(0 \leq a_n \leq b_n\) kaikilla \(n=1, 2, \ldots\), niin \[ \begin{align*} & \text{- jos } \sum_{n=1}^{\infty} b_n \, \text{ suppenee, niin myös } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \, \text{ suppenee; ja} \\ & \text{- jos } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \, \text{ hajaantuu, niin myös } \sum_{n=1}^{\infty} b_n \, \text{ hajaantuu}. \end{align*} \]
- Vrt. majorantti-/minoranttiperiaate epäoleellisille integraaleille.

Huomautuksia

Ei toimi toisinpäin:
- hajaantuva majoranttisarja \(\sum b_n\) ei kerro mitään sarjan \(\sum a_n\) suppenemisesta, ja
- suppeneva minoranttisarja \(\sum a_n\) ei kerro mitään sarjan \(\sum b_n\) suppenemisesta.
Vakiokerroin ei vaikuta suppenemiseen, joten
- jos \(0 \leq a_n \leq K b_n\) kaikilla \(n\) jollakin vakiolla \(K>0\), saadaan samat johtopäätökset kuin yllä.
Sarjan alkupään termit eivät vaikuta supppenemiseen, joten riittää, että \(0 \leq a_n \leq b_n\) jostakin luvusta \(n\) alkaen.
Muita nimiä:
- vertailuperiaate / vertailutesti
- "comparison test".
Käyttö:
- arv(ioid/at)aan, suppeneeko tutkittava sarja vai ei
- etsitään sen mukaan joko
  - suppeneva majoranttisarja tai
  - hajaantuva minoranttisarja
    - sellaisista sarjoista, joiden käytös tunnetaan / osataan selvittää! Usein
      - ali- tai yliharmoninen sarja (tai itse harmoninen sarja) tai
      - geometrinen sarja.

Kysymys pohdittavaksi:

Jos tiedät, että \(\sum b_n\) suppenee ja \(a_n, b_n \geq 0\) kaikilla \(n\) ja \[ \frac{a_n}{b_n} \to \begin{cases} 0 \\ 2 \\ \infty , \end{cases} \] mitä voit sanoa sarjasta \(\sum a_n\) (eri tapauksissa)?
Entä, jos \(\sum b_n\) hajaantuu ja \[ \frac{a_n}{b_n} \to \begin{cases} 0 \\ 30 \\ \infty \, ? \end{cases} \]

11.4 Osamäärätesti

"Limit comparison test"
Jos jonot \(\{a_n\}\) ja \(\{b_n\}\) ovat molemmat positiivisia ja \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L, \] niin
- jos \(0<L<\infty\), niin sarjat "käyttäytyvät samalla tavalla":
  - \(\sum a_n\) suppenee \(\iff \sum b_n\) suppenee;
- jos \(L=0\), niin
  - jos \(\sum b_n\) suppenee, niin \(\sum a_n\) suppenee;
- jos \(L=\infty\), niin
  - jos \(\sum b_n\) hajaantuu, niin \(\sum a_n\) hajaantuu.
Perustelun idea:
- jostakin alkaen \(\frac{L}{2}\leq \frac{a_n}{b_n} \leq 2L\)
- majorantti-/minoranttitesti
  - tarkemmin [A, s. 515].
Käyttö: verrataan tutkittavaa sarjaa \(\sum a_n\) vertailusarjaan \(\sum b_n\)
- jonka suppeneminen tunnetaan / osataan laskea!
- Vertailusarjan valinta?

Huomautuksia

Jos raja-arvoa \(L\) ei ole (edes epäoleellisena \(L=\infty\)), niin
- tutkittava sarja voi supeta tai hajaantua, tekipä vertailusarja mitä hyvänsä; eli
- testi ei anna tietoa.
Jos raja-arvo \(L=0\) ja \(\sum b_n\) hajaantuu, niin
- testi ei anna tietoa.
  - Vrt. "hajaantuva majoranttisarja"; ei voida päätellä mitään.
Vastaavasti jos raja-arvo on ääretön ja \(\sum b_n\) suppenee, niin
- testi ei anna tietoa.

Esimerkkejä

[A, s. 514-516]

Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n +1} \]
- vertaa geometriseen sarjaan \(\sum \frac{1}{2^n}\)
- kyllä
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n+1}{n^3+1} \]
- vertaa sarjaan \(3\sum \frac{1}{n^2}\) (yliharmoninen, suppenee)
- kyllä
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\log n} \]
- vertaa harmoniseen sarjaan \(\sum \frac{1}{n}\)
- ei
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{n}} \]
- vertaa vaikkapa sarjaan \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) (aliharmoninen, hajaantuu)
- ei
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n^3-2n+3} \]
- vertaa sarjaan \(\sum \frac{1}{n^2}\) (yliharmoninen, suppenee)
- kyllä

11.5 Suhdetesti

Jos \(\{a_n\}\) on positiivinen ja \[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L, \] niin
- jos \(L<1\), niin sarja \(\sum a_n\) suppenee;
- jos \(L>1\), niin sarja \(\sum a_n\) hajaantuu; ja
- jos \(L=1\), niin
  - testi ei anna tietoa.
Perustelun idea:
- "loppupäässä sarja käyttäytyy melkein kuin geometrinen sarja"
  - suhdeluvulla \(L\)
- (tämä idea ei toimi, jos \(L=1\)).

11.6 Juuritesti

Jos \(\{a_n\}\) on positiivinen ja \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L, \] niin
- jos \(L<1\), niin sarja \(\sum a_n\) suppenee;
- jos \(L>1\), niin sarja \(\sum a_n\) hajaantuu; ja
- jos \(L=1\), niin
  - testi ei anna tietoa.
Perustelun idea:
- "loppupäässä sarja käyttäytyy melkein kuin geometrinen sarja \(\sum L^n\) "
  - (idea ei toimi, kun \(L=1\)).

11.7 Tarpeellisia tietoja ja esimerkkejä

Huomaa, että (aiemmilta kursseilta tiedämme ja osaamme tarvittaessa perustella, että) \[ \begin{align*} &\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\ &\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac1n \right)^{n} = e \\ &\lim_{n\to \infty} \frac{n^a}{e^n} = 0 , \quad \text{ kun } a > 0 \\ &\lim_{n\to \infty} \frac{\log n}{n^a} = 0 , \quad \text{ kun } a > 0 \\ &\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} = 1, \quad \text{ kun } a > 0 \\ &\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 &\end{align*} \]
- Esimerkkejä perusteluista:
  - l'Hospitalin säännöllä \[ \frac{\log n}{n} \to 0, \quad \text{ kun } n \to \infty. \] Tästä ja eksponenttifunktion jatkuvuudesta saadaan
    \[ \sqrt[n]{n} = n^{\frac1n} = e^{\frac{1}{n} \log n} \to e^0 = 1 . \]

Esimerkkejä

Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{99^n}{n!} \]
- kyllä
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^5}{2^n} \]
- kyllä
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \]
- kyllä
Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \]
- ei

Tutki sarjoja \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \quad \text{ ja } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \] suhde- ja juuritestin avulla. Mitä huomaat?
- saadaan \(L=1\)
- mutta ennestään tiedetään, että toinen suppenee, toinen hajaantuu (harmoninen ja yliharmoninen).
  - Siis: jos suhde- tai juuritestissä saadaan \(L=1\), ei voida päätellä mitään!

12. Itseinen suppeneminen sekä kertausta

itseinen ja ehdollinen suppeneminen
vuorotteleva sarja
Leibnizin lause vuorotteleville sarjoille
summausjärjestyksestä
kertaus lukusarjoista
mahdollisesti myös muuta tarpeen ja toiveiden mukaan, esim.
- aiemmin vähälle käsittelylle jääneitä sovelluksia integraalilaskennasta
- esimerkkejä eri aiheista
- kyselytunti ja/tai/eli aiemmilla luennoilla liian nopeasti käsiteltyjen aiheiden selvittelyä

[A, 9.4]

12.0.1 Johdannoksi

Positiivitermisen sarjan \((\)eli sarjan \(\sum a_n\), missä \(\,a_n\geq 0\,\) kaikilla \(n=1, 2, \ldots )\,\) suppenemista osataan tutkia erilaisilla testeillä
- esim. integraalitesti, osamäärätesti, suhdetesti (edellä).
Jos sarjan termit ovat kaikki saman merkkisiä (jostakin alkaen),
- voidaan tutkia vastaavan positiivitermisen sarjan suppenemista
  - kerroin \((-1)\) ei vaikuta suppenemiseen, summan arvoon kylläkin
  - sarjan alkuosa ei vaikuta suppenemiseen, summan arvoon kylläkin.
Entä, jos sarjan termit eivät pysy samanmerkkisinä?
- Kaksi tapausta:
  - merkki vuorottelee tai
  - merkin vaihtelun sääntöä ei tiedetä / se on monimutkaisempi.
- Jos merkki vuorottelee,
  - Leibnizin lause vuorottelevalle sarjalle (tulossa)
    - myös muita oletuksia!
- Yleisesti:
  - itseinen / ehdollinen suppeneminen (tulossa);
  - uusi sarja \(\sum |a_n|\) on positiiviterminen,
    - testit käytössä!
    - Miten uuden sarjan \(\sum |a_n|\) suppeneminen liittyy alkuperäisen sarjan \(\sum a_n\) suppenemiseen?

12.1 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen

Määritelmä

Jos \[ \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{suppenee ja } \right) \quad \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \quad \text{ suppenee}, \] sanomme, että sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{ suppenee itseisesti}. \]
Jos \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{suppenee, mutta } \quad \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \quad \text{ hajaantuu}, \] sanomme, että sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{ suppenee ehdollisesti}. \]

Lause

Jos sarja suppenee itseisesti, se suppenee (tavallisesti) eli \[ \text{jos } \, \, \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \quad \text{ suppenee, niin } \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{ suppenee}. \]
- Perustelun idea:
  - \(0 \leq a_n+|a_n| \leq 2|a_n|\)
  - majoranttiperiaate
  - suppenevien sarjojen summasarja suppenee
    - [A, s. 521]
- (Käänteinen ei ole totta!)

Esimerkki

Suppeneeko sarja \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n^2} \, ? \]
- Suppenee itseisesti (yliharm.), siis suppenee.

Huomautuksia

Suppeneva positiiviterminen sarja suppenee itseisesti
- eli positiivitermiselle sarjalle suppeneminen = itseinen suppeneminen.
Muille sarjoille tämä ei ole totta:
- vaikka sarja suppenisi, se ei välttämättä suppene itseisesti
  - eli "on olemassa ehdollisesti suppenevia sarjoja".
- Esim. \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \, \frac{1}{n} = 1-\frac12+\frac13-\frac14+ \cdots\]
  - ns. vuorotteleva harmoninen sarja
  - tämä käsitellään pian.

12.2 Vuorotteleva sarja

Jos \[\,a_n a_{n+1} < 0\,\] kaikilla \(\,n=1, 2, \ldots\,\) eli sarjan termien jono on merkiltään vuorotteleva, sanomme, että sarja \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\] on vuorotteleva sarja.

12.2.1 Leibnizin lause vuorottelevalle sarjalle

Jos
- \(\,a_n a_{n+1} < 0\,\) kaikilla \(\,n=1, 2, \ldots\,\) ja
- \(|a_{n+1}| \leq |a_n|\) kaikilla \(\,n=1, 2, \ldots\,\) ja
- \(a_n \to 0\), kun \(n \to \infty\), niin \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{ suppenee}, \]
  - ja lisäksi
    - "häntä" \[\sum_{n=N+1}^{\infty} a_n\] on samanmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi \(a_{N+1}\) ja \[ |\sum_{n=1}^{\infty} a_n - \sum_{n=1}^{N} a_n | \leq | a_{N+1}| . \]
Perustelu
- [A, s. 523]

Esimerkkejä

Suppeneeko vuorotteleva harmoninen sarja itseisesti tai ehdollisesti?
- Ehdollisesti.
  - Leibnizin lause vuorotteleville sarjoille \(\implies\) suppenee;
  - harmoninen sarja hajaantuu \(\implies\) sarja ei suppene itseisesti.
Suppeneeko sarja itseisesti tai ehdollisesti? \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos (n\pi)}{\log n} \]
- ehdollisesti
Suppeneeko sarja itseisesti tai ehdollisesti? \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n+1}{n} \]
- ei (miksi ei?)
Suppeneeko sarja itseisesti tai ehdollisesti? \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \] missä \(a_n=\frac1n\), kun \(n\) on pariton, ja \(a_n=-\frac1{n^2}\), kun \(n\) on parillinen.
- ei (miksi ei?)

12.3 Summausjärjestyksestä

Jos sarja suppenee itseisesti,
- sen termit voidaan laskea yhteen missä järjestyksessä tahansa, ja summa on sama.
Jos sarja suppenee ehdollisesti,
- järjestämällä termit uudelleen saadaan summaksi mikä tahansa luku
  - eli "järjestyksellä on väliä"!
  - ("\(\infty-\infty\)")

Esimerkki:

Järjestä vuorottelevan harmonisen sarjan termit uudelleen niin, että sarjan summa on 8.
- [A, s. 526]

13. Potenssisarjat

funktiosarjoista
potenssisarjan suppenemisesta
- suppenemissäde
- suppenemissäteen etsiminen
  - suhdetestin avulla
  - juuritestin avulla

[A, 9.5]

13.0.1 Lämmittelyksi

Kertaa tutut lukusarjat
- geometrinen (milloin suppenee?)
- harmoninen, aliharmoninen, yliharmoninen sarja (suppeneminen?)
- vuorotteleva harmoninen sarja (suppenee, ks. edellinen luento).
Millä muuttujan \(x\) arvoilla sarja \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} \] suppenee?
- On geometrinen sarja, suhdelukuna \(\frac{x}{2}\), joten suppenee, kun \[ \left| \tfrac{x}{2}\right| < 1 \quad \text{ eli kun} \quad -2 < x < 2. \]
Tutki suhdetestillä, millä muuttujan \(x\) arvoilla sarja \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+3)^n}{n} \] suppenee.
- Koska \[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \ldots = |x+3| \frac{1}{1+\frac1n} \to |x+3|, \quad \text{kun } \, n \to \infty, \] suhdetestin mukaan sarja
  - suppenee, kun \(|x+3|<1\) eli kun \(-4<x<-2\), ja
  - hajaantuu, kun \(|x+3|>1\) eli kun \(x<-4\) tai \(x>-2\).
- Entä pisteissä \(x=-4\) ja \(x=-2\) ?
  - Kun \(x = -2\), sarja on \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2+3)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n},\] joka hajaantuu (harmoninen sarja).
  - Kun \(x = -4\), sarja on \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4+3)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n},\] joka suppenee (vuorotteleva harmoninen sarja; Leibnizin lause vuorotteleville sarjoille).
- Siis sarja suppenee, kun \[ -4 \leq x < -2 . \]

13.1 Funktiosarjoista hiukan

Esim. sarja \[ 1+x+x^2+x^3+ \cdots \] on kullakin reaaliluvulla \(\,x\,\) lukusarja, joka joko suppenee tai hajaantuu.
Kun ajatellaan \(x\) muuttujana, joka voi olla mikä tahansa reaaliluku, kyse on funktioiden \(f_n (x) = x^n\) sarjasta: \[ \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x), \]
- joka joillakin muuttujan \(x\) arvoilla suppenee, joillakin (ehkä) ei.
- Niillä \(x\), joilla sarja suppenee, sarja määrittelee meille uuden funktion, "sarjan summan", jolla voi olla tuttu lauseke; esim. \[ 1+x+x^2+x^3+ \cdots = \frac{1}{1-x}, \quad \text{kun } |x|<1. \]
Tällä kurssilla käsitellään enimmäkseen sellaisia funktiosarjoja, joissa yhteenlaskettavat funktiot ovat potenssifunktioita: \[ f_n(x) = a_n x^n \] tai yleisemmin \[ f_n(x) = a_n (x-c)^n, \] missä
- \(c\in \mathbb{R}\) on vakio
  - (eli \(\,c\,\) ei riipu muuttujasta \(x\) eikä summausindeksistä \(n\)),
- ja kertoimet \(\,a_n\,\) eivät riipu muuttujasta \(x\).
Kurssin lopussa käsitellään funktiosarjoja, joissa \(f_n\) on sini tai kosini: \[ f_n(t) = a_n \sin(n \alpha t) \quad \text{ tai } \quad f_n(t) = a_n \cos(n \alpha t) \] tai näiden (painotettu) summa.

13.2 Potenssisarja

"Polynomi, jonka aste on ääretön."

13.2.1 Määritelmä ja käsitteitä

Potenssisarja on funktiosarja \[ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] tai yleisemmin \[ a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \]
- \(c\) on potenssisarjan kehityskeskus
  - reaaliluku(piste), joka ei riipu muuttujasta \(x\) eikä summausindeksistä \(n\)
- \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) ovat potenssisarjan kertoimet
  - reaalilukuja, jotka voivat riippua indeksistä \(n\), mutta eivät muuttujasta \(x\).
Jos \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \] kaikilla \(x\) jollakin välillä \(I\), joka sisältää pisteen \(c\), sanomme, että
- sarja on funktion \(f\) potenssisarjaesitys pisteessä \(c\).

Huomautuksia

Yleinen tapaus saadaan origossa kehitetystä potenssisarjasta muuttujanvaihdon \(\,y=x-c\,\) avulla.

Esimerkkejä

Potenssisarja \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n \] suppenee, kun \(|x| < 1\) eli kun \(-1<x<1\), ja tällöin sen summa on \(\frac{1}{1-x}\).
- Siis \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) on funktion \[ f(x) = \frac{1}{1-x} \] origossa kehitetty potenssisarjaesitys, ja yhtäsuuruus \[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \] on voimassa, kun \(-1<x<1\).
  - Huomaa, että yhtäsuuruus ei ole voimassa vaikkapa kohdassa \(x=2\), vaikka \(f\) on siellä määritelty.
Mikä on funktion \(f(x) = \frac{1}{1+x}\) potenssisarjaesitys origossa?
- Edellisen avulla \[ f(x) = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \] kun \(|-x| < 1\) eli kun \(-1<x<1\).

Mikä on funktion \(f(x) = \frac{1}{1-x}\) potenssisarjaesitys pisteessä \(c=5\) ?
- Halutaan siis löytää kertoimet \(a_n\) siten, että olisi \[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-5)^n \] ainakin jossain pisteen \(c=5\) ympärillä.
- Merkitään \(y=x-5\) eli \(x=y+5\), jolloin (edelleen esimerkin 1 avulla) \[ \begin{align*} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{1-(y+5)} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{y}{4})} = -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{y}{4}\right)^n \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{4}\right)^{n+1} (x-5)^n , \end{align*} \] kun \(|-\frac{y}{4}| < 1\) eli kun \(|\frac{x-5}{4}|<1\) eli kun \(1<x<9\).

13.3 Potenssisarjan suppeneminen

Potenssisarjan \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] sanotaan suppenevan pisteessä \(x=x_1\in \mathbb{R}\), jos lukusarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x_1^k \quad \text{ suppenee}. \]
Potenssisarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] voi supeta
- vain pisteessä \(x=0\),
- kaikissa pisteissä \(x \in \mathbb{R}\), tai
- jossakin joukossa \(A\subset \mathbb{R}\).
  - (Millaisessa joukossa?)
- Huom: suppenee aina pisteessä \(x=0\), miksi? Mikä on summa?

Joukko \(A\), jossa potenssisarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] suppenee, on origokeskinen väli:
- \(A= ]-R,R[\) tai \([-R, R[\) tai \([-R,R]\) tai \(]-R, R]\)
- Perustelusta (+):
  - Jos potenssisarja \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k\) suppenee pisteessä \(x=x_1 \not = 0\), niin se suppenee itseisesti kaikissa pisteissä \(x\in \mathbb{R}\), joille \(-|x_1| < x < |x_1|\) .
  - Perustelun idea:
    - Pisteessä \(x_1\) sarja suppenee \(\implies a_k x_1^k \to 0 \implies |a_k x_1^k| \leq M\) kaikilla \(k= 0, 1, 2, \ldots\) jollakin \(M>0\).
    - Majorantiksi geometrinen sarja, suhdeluku \(r:= \frac{|x|}{|x_1|}<1\), kerroin \(a:=M\).

Suppenemissäde ja suppenemisväli

Yleisemmin:
- potenssisarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-c)^k \] suppenee joko
  - vain pisteessä \(x=c\)
    - eli \(A\) on surkastunut väli \([c,c]\), "\(R=0\)"
  - kaikilla reaaliluvuilla \(x\)
    - eli \(A=]-\infty, \infty[\), "\(R=\infty\)"
  - jollakin \(c\)-keskisellä rajoitetulla välillä
    - eli \(A= ]c-R,c+R[\) tai \([c-R,c+R[\) tai \([c-R,c+R]\) tai \(]c-R,c+R]\)
Yllä
- luku \(R\) on potenssisarjan suppenemissäde
- väli \(A\) on potenssisarjan suppenemisväli
- sarja suppenee itseisesti ainakin välillä \(]c-R, c+R[\)
  - sekä mahdollisesti toisessa tai molemmissa päätepisteissä.
Miten suppenemissäde \(R\) löytyy?

13.4 Suppenemissäteen etsiminen

13.4.1 Suhdetestin avulla

Jos \[ \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \to L, \quad \text{kun } k \to \infty \] niin sarjan \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-c)^k \] suppenemissäde on \(R=\frac{1}{L}\).
- Perustelun idea, kun \(c=0\): \[ \frac{|a_{k+1}x^{k+1}|}{|a_k x^k|}= \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| |x| \to L |x| \] Suhdetesti \(\implies\) sarja \(\sum_{k=0}^{\infty} |a_k x^k|\) suppenee, kun \(L|x|<1\) eli kun \(|x| < \frac1L\), ja hajaantuu, kun \(L|x|>1\) eli kun \(|x| > \frac1L.\)

13.4.2 Juuritestin avulla

Jos \[ \sqrt[k]{\left|a_k\right|} \to L, \quad \text{kun } k \to \infty \] niin sarjan \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-c)^k \] suppenemissäde on \(R=\frac{1}{L}\).
- Perustelun idea, kun \(c=0\): \[ \sqrt[k]{\left|a_k x^k\right|} = \sqrt[k]{\left|a_k\right|} |x| \to L |x| . \] Juuritesti \(\implies\) sarja \(\sum_{k=0}^{\infty} |a_k x^k|\) suppenee, kun \(L|x|<1\) eli kun \(|x| < \frac1L\), ja hajaantuu, kun \(L|x|>1\) eli kun \(|x| > \frac1L.\)

Huomautuksia

Suhde- tai juuritesti antaa suppenemissäteen, mutta ei suppenemisväliä
- päätepisteet on tutkittava erikseen!
Huomaa, että suppenemissäde \(R\) riippuu vain sarjan kertoimista \(a_k\),
- ei lainkaan kehityskeskuksesta \(c\).
(Sen sijaan suppenemisväli riippuu toki myös kehityskeskuksesta.)

Esimerkkejä

Selvitä sarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n} \] kehityskeskus, suppenemissäde ja suppenemisväli.
- Muokataan, jotta nähdään rakenne: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^n(n^2+1)} \left(x+\frac52\right)^n \]
  - siis kertoimet ovat \[ a_n = \frac{2^n}{3^n(n^2+1)} \] ja kehityskeskus \[ c= -\frac52. \]
  - Suppenemissäteen \(R\) laskeminen: \[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}((n+1)^2+1)}}{\frac{2^n}{3^n(n^2+1)}} = \frac{2 (n^2+1)}{3((n+1)^2+1)} = \frac{2 (1+ \frac{1}{n^2})}{3((1+\frac{1}{n})^2+\frac{1}{n^2})} \to \frac{2}{3}, \] joten \(R= \frac32\).
  - Siis sarja suppenee itseisesti ainakin välillä \[ ]c-R, c+R[ = ]-4,-1[. \]
  - Suppenemisvälin päätepisteet:
    - kun \(x=-4\), sarja on \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(n^2+1)3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n^2+1)}, \] joka suppenee itseisesti (majoranttina yliharmoninen sarja);
    - kun \(x=-1\), sarja on \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3)^n}{(n^2+1)3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n^2+1)}, \] joka samoin suppenee (itseisesti).
  - Siis sarja suppenee, kun \(x \in [-4,-1]\) eli
    - sarjan suppenemisväli on \([-4,-1]\).

Selvitä sarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] kehityskeskus, suppenemissäde ja suppenemisväli.
- Kehityskeskus on \(c=0\).
- Suhdetestin avulla suppenemissäde: \[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \frac{1}{n+1} \to 0, \quad \text{kun } n \to \infty, \] joten \(R=\infty\) eli sarja suppenee (itseisesti) kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).
Selvitä sarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} n! x^n \] kehityskeskus, suppenemissäde ja suppenemisväli.
- Kehityskeskus on \(c=0\).
- Suhdetestin avulla suppenemissäde: \[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \to \infty, \quad \text{kun } n \to \infty, \] joten \(R=0\) eli sarja suppenee ainoastaan kehityskeskuksessa eli kun \(x=0\).

14. Potenssisarjojen ominaisuuksia

kehityskeskuksen siirto muuttujanvaihdolla
potenssisarjojen algebralliset operaatiot
Cauchyn tulo
derivointi ja integrointi termeittäin
Abelin lause potenssisarjana esitetyn funktion jatkuvuudesta
lukusarjan summan laskeminen funktion potenssisarjaesityksen avulla

[A, 9.5]

14.1 Kehityskeskuksen siirto muuttujanvaihdolla

Rajoitutaan seuraavaksi tarkastelemaan origossa kehitettyjä potenssisarjoja \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. \]
Samat tulokset ovat voimassa myös muille potenssisarjoille;
- rajoittuminen tilanteeseen \(c=0\) yksinkertaistaa merkintöjä, ei muuta.
Tulosten yleistäminen sarjalle \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\) onnistuisi muuttujanvaihdon \(y=x-c\) avulla:
- Mitä halutaan? Muotoillaan kysymys yleiselle potenssisarjalle.
- Tehdään muuttujanvaihto \(x-c=y\)
  - -> kysymys palautuu origossa kehitetyn sarjan vastaavaksi kysymykseksi
- Ratkaistaan kysymys käyttäen origossa kehitetylle sarjalle tunnettua tulosta.
- Palataan alkuperäiseen tilanteeseen muuttujanvaihdolla \(y=x-c\)
Ks. myös 13.2, esimerkki 3

14.2 Potenssisarjojen summa ym. operaatioita

14.2.1 Summa

Jos
- sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) suppenemissäde on \(R_a\) ja
- sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) suppenemissäde on \(R_b\), niin sarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} (a_n+b_n) x^n \] suppenemissäde on \[R\geq \min(R_a, R_b)\] (\(R\) voi olla myös isompi kuin kumpikaan alkuperäisistä), ja \[ \sum_{n=0}^{\infty} (a_n+b_n) x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n+\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \] siellä, missä kumpikin suppenee.

14.2.2 Vakiolla kertominen

Jos sarjan
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] suppenemissäde on \(R_a\), niin myös sarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} (s a_n) x^n \] suppenemissäde on \(R_a\) ja \[ \sum_{n=0}^{\infty} (s a_n) x^n = s \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] siellä, missä sarja suppenee, olipa luku \(s\in \mathbb{R}\) mikä tahansa (vakio).

14.2.3 Sarjojen Cauchyn tulo

Jos
- sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) suppenemissäde on \(R_a\) ja
- sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) suppenemissäde on \(R_b\), niin sarjojen Cauchyn tulo on \[ \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n, \] missä \[ c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_{n-1} b_1 + a_n b_0 = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}, \] ja sen suppenemissäde on \[R\geq \min(R_a, R_b)\] (kuten summalla, \(R\) voi olla myös isompi kuin kumpikaan alkuperäisistä).
- Perusteluksi (uskon vahvistukseksi) voi laskea käsin sarjojen tuloa
  - ja koota samanmuotoiset termit
  - [A, s.530]
  - (tämä ei vielä riitä perustelemaan suppenemista, mutta muu jää muille kursseille).

Esimerkki

Selvitä funktion \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\) potenssisarjaesitys, kun tiedetään, että \[ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+ \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad \text{kun } -1<x<1. \]
- Huomataan, että \[ \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x} \]
- Lasketaan sarjojen tulo käsin
  - [A, s. 531]
- Lasketaan sarjojen Cauchyn tulo:
  - kerrottavien sarjojen kertoimet ovat kaikki ykkösiä, \(a_k=b_k=1\), joten \[ c_n = 1\cdot 1 + \cdots + 1\cdot 1 = n+1 \]
  - siis sarjojen Cauchyn tulo on sarja \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = 1+ 2x+ 3x^2+ 4x^3 + \cdots \]
    - sama tulos kuin käsin laskien.
- Siis \[ \frac{1}{(1-x)^2} = 1+ 2x+ 3x^2+ 4x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n , \quad \text{kun } -1<x<1. \]

14.2.4 Sarjojen jakolaskusta (+)

Ei osata kovin hyvin...
- eli haluttaisiin \[ \frac{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}{ \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n , \]
  - mutta ei osata laskea kertoimia \(c_n\).
Suppeneminen:
- Jos
  - sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) suppenemissäde on \(R_a\) ja
  - sarjan \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\) suppenemissäde on \(R_b\),
- niin sarjojen "osamäärän" \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n\) suppenemissäde on vähintään \[R \geq \min(R_a, R_b, R_0),\] missä \(R_0\) on kehityskeskuksen etäisyys lähimpään nimittäjän nollakohtaan (kompleksiset mukaanlukien).
Esim. \[ \begin{align*} 1 &= 1 + 0x+0x^2+0x^3 + \cdots \quad \text{kaikilla } x \in \mathbb{R} \\ 1-x &= 1 - x+0x^2+0x^3 + \cdots \quad \text{kaikilla } x \in \mathbb{R} \end{align*} \]
- (eli nämä sarjat suppenevat kaikkialla),
- mutta osamäärä
  - (joka voitaisiin laskea jakamalla sarjat jakokulmassa) on \[ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+ \cdots, \] joka suppenee vain, kun \(-1<x<1\)
  - eli sen suppenemissäde on \(R=1\)
    - (origon ja nimittäjän ainoan nollakohdan \(x=1\) välinen etäisyys).

14.3 Potenssisarjan derivointi ja integrointi

"Potenssisarja voidaan derivoida ja integroida termeittäin kuten polynomi, ja suppenemissäde säilyy samana."

Tarkemmin: Jos potenssisarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] suppenee välillä \(]-R,R[\), niin summa \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] on välillä \(]-R,R[\)
- jatkuva,
- derivoituva ja
- "integroituva" funktio
  - (tarkemmin: \(\int_a^b f(x) dx\) on määritelty kaikilla \(a,b \in ]-R,R[\)),
- joka voidaan derivoida ja integroida termeittäin: \[ f'(x) = D\left(\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} D(a_k x^k ) = \sum_{k=1}^{\infty} ka_k x^{k-1} \] ja \[ \int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x \sum_{k=0}^{\infty} a_k t^k \,dt =\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^x a_k t^k \,dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{k+1} x^{k+1} , \] kun \(x \in ]-R,R[\).
  - Perustelu muilla kursseilla (ehkä) sekä [A, s. 532-533].

Huomautuksia

Suppeneminen välin \(]-R,R[\) päätepisteissä voi muuttua derivoitaessa / integroitaessa.
Jos funktio \(f\) voidaan esittää potenssisarjana, se on siis
- derivoituva funktio, jonka derivaatalla on edelleen potenssisarjaesitys
  - joka siis voidaan derivoida...
- äärettömän monta kertaa.

Esimerkkejä

Laske uudestaan funktion \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\) potenssisarjaesitys origossa; tällä kertaa derivoinnin ja tiedon \[ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+ \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \] avulla.
Selvitä funktion \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^3}\) potenssisarjaesitys origossa. Missä tulos on voimassa?
Sama funktiolle \(f(x) = \log(1+x)\).
- integroimalla saadaan \(\,x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}+ \cdots\), \(\,\,\) kun \(\,-1<x<1\).
  - Voidaan tutkia (Leibniz), että suppenee myös, kun \(x=1\).
Sama funktiolle \(f(x) = \arctan(x)\).
- integroimalla saadaan \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad \text{kun } -1<x<1. \]
  - Lisäksi suppenee molemmissa päätepisteissä.

Esimerkkien tarkemmat käsittelyt luennolla sekä [A, s. 533-535].

14.4 Abelin lause potenssisarjojen jatkuvuudesta

"Potenssisarjan summa on jatkuva funktio kaikkialla, missä sarja suppenee."
- Siis suppenemisvälin päätepisteeseen saakka, jos sarja suppenee siellä.
Tarkemmin:
- jos potenssisarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] suppenee, kun \(x=R\), niin summa(funktio) \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] on jatkuva välillä \(]-R,R]\)
  - ja sarjan summa pisteessä \(x=R\) on \(f(R)\) eli yhtäsuuruus on voimassa myös siellä.
- Siis (kohdan 14.3 lisäksi) \(f\) on vasemmalta jatkuva pisteessä \(x=R\) eli \[ \lim_{x\to R-} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k R^k. \]
Vastaavasti
- jos potenssisarja \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] suppenee, kun \(x=-R\), niin summa(funktio) \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \] on jatkuva välillä \([-R,R[\)
  - ja sarjan summa pisteessä \(x=-R\) on \(f(-R)\) eli yhtäsuuruus on voimassa myös siellä.
- Siis (kohdan 14.3 lisäksi) \(f\) on oikealta jatkuva pisteessä \(x=-R\) eli \[ \lim_{x\to -R+} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (-R)^k. \]

Esimerkkejä

Edellisistä esimerkeistä saadaan Abelin lauseen avulla vaikkapa
- \(\log 2 = \log(1+1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\)
- \(\frac{\pi}{4} = \arctan(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} 1^{2n+1} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots\)
  - näiden avulla tosin ei kannattane laskea likiarvoja...

Laske sarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} \] summa.
- Lasketaan ensin potenssisarjan \[ \sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n \] summa(funktio):
  - Aiemmin on laskettu \[\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad \text{ kun} -1<x<1.\]
  - Tästä saadaan \[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2} \] eli \[ \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2} \] ja edelleen derivoimalla \[ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = D\frac{x}{(1-x)^2} =\frac{1+x}{(1-x)^3} \] ja siis \[ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}, \] kun \(-1<x<1\)
    - koska suppenemissäde ei muutu derivoitaessa (eikä kerrottaessa muuttujalla \(x\)).
- Kun \(x=\frac12\), saadaan siis \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} n^2 (\tfrac{1}{2})^n = \frac{\frac12(1+\frac12)}{(1-\frac12)^3} = \frac{\frac34}{\frac18} = 6. \]

15. Taylorin sarjat

funktion Taylorin sarja
Taylorin sarjan suppenemisesta
- analyyttinen funktio
esimerkkejä
Taylorin kaava ja polynomi
Taylorin sarjojen käyttötapoja
- funktion arvon approksimointi
- numeerinen integrointi
  - määrätyn integraalin arvon approksimointi, kun antiderivaatta ei ole alkeisfunktio
- raja-arvojen laskeminen
Binomikaava ja binomisarja

[A, 9.6-9.8]

15.0.1 Lämmittelyksi

Tiedetään, että \[ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+ \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad \text{kun } -1<x<1. \] Merkitään \(f(x) = \frac{1}{1-x}\). Laske \(f(0), \, f'(0), \, f''(0), \, f'''(0)\,\) ja \(f^{20}(0)\).

15.1 Potenssisarjan kertoimet

Aiemmin on laskettu muutamien funktioiden potenssisarjaesityksiä lähtien geometrisesta sarjasta ja käyttäen
- yhteen- ja vähennyslaskua
- kertomista vakiolla
- muuttujanvaihtoa (sekä \(\,y=ax^m\,\) että \(\,y=x-c\,\))
- sarjojen kertomista keskenään (Cauchyn tulo)
- derivointia ja
- integrointia.
Mikä yhteys on funktion lausekkeella ja funktion sarjaesityksen kertoimilla?
Jos \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n, \quad \text{ kun } x \in ]c-R, c+R[ \] jollakin \(R>0\) tai kaikilla \(x\in \mathbb{R}\) (eli suppenemissäde \(R=\infty\)), niin \[ a_k = \frac{f^{(k)} (c)}{k!} \] kaikilla \(k=0, 1, 2, \ldots\)
- Perustelu: laske derivaatat \(f^{(k)}(c)\).

Huomautus

Kertoimet ovat siis yksikäsitteisesti määrätyt funktion lausekkeesta;
- samalle funktiolle samassa kehityskeskuksessa saa vain yhden potenssisarjaesityksen.
Kertoimet voidaan laskea funktion lausekkeesta
- hyödyksi, jos derivointi moneen kertaan on "helppoa"
  - eli jos \(k\):s derivaatta löytyy helposti
Toisaalta: jos potenssisarjaesitys osataan laskea muilla keinoin (kuten aiemmin),
- funktion derivaattojen arvot pisteessä \(c\) saadaan sarjan kertoimista: \[ f^{(k)}(c) = k!a_k. \]

15.2 Taylorin sarja ja Maclaurinin sarja

Jos funktiolla \(f\) on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä \(c\), niin sen Taylorin sarja pisteessä \(c\) on \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k = f(c) + f'(c) (x-c) + \frac{f''(c)}{2!} (x-c)^2 + \frac{f^{(3)}(c)}{3!} (x-c)^3 + \cdots \]
- Kun \(c=0\), sarjaa kutsutaan myös nimellä Maclaurinin sarja.

15.2.1 Taylorin sarjan suppeneminen ja analyyttinen funktio

Taylorin sarja on potenssisarja (joista puhuttiin jo aiemmin)
- sen suppenemista voidaan tutkia kuten aiemmin.
Taylorin sarja voidaan kirjoittaa mille tahansa funktiolle, jolla derivaatat ovat olemassa pisteessä \(c\)
- mutta
  - sarja ei välttämättä suppene muualla kuin kehityskeskuksessa \(c\)
  - vaikka sarja suppenisi muuallakin, sen summa ei välttämättä ole annettu funktio (muualla kuin pisteessä \(c\)) vaan jotain ihan muuta.
Jos funktion Taylorin sarja pisteessä \(c\) suppenee myös muualla kuin pisteessä \(c\) kohti funktiota \(f\), sanomme, että \(f\) on analyyttinen pisteessä \(c\).
- Jos \(f\) on analyyttinen kaikissa välin \(I\) pisteissä, sanomme, että \(f\) on analyyttinen välillä \(I\).
+Analyyttisellä funktiolla on siis kaikkien kertalukujen derivaatat
- mutta analyyttisyys on vahvempi: on olemassa funktioita, joilla on kaikki derivaatat, mutta jotka eivät ole analyyttisiä
  - esim. \(f(x) = e^{-\frac1x}\), kun \(x>0\) ja \(0\) muualla, ei ole analyyttinen origossa.
- Useimmat tällä kurssilla näkemäsi funktiot, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat, ovat myös analyyttisiä.
  - Lisää myöhemmillä kursseilla.
Toisaalta jos potenssisarja \(\sum a_n (x-c)^n\) suppenee jollakin välillä pisteen \(c\) ympärillä, potenssisarjan summa(funktio) on analyyttinen pisteessä \(c\) ja funktion Taylorin sarja pisteessä \(c\) on mainittu sarja.
Ainoa keino (tällä kurssilla) tutkia, suppeneeko funktion \(f\) Taylorin sarja kohti funktiota \(f\), on
- tutkia Taylorin kaavan jäännöstermin suppenemista, ks. Taylorin kaava (myöhemmin).

15.3 Tärkeitä esimerkkejä

Tutkitaan funktiota \(f(x) = e^x\).
- (a)Selvitä funktion Maclaurinin sarja. Missä sarja suppenee?
  - Kaikki derivaatat samoja, \(f^{(k)} (x) = e^x\),
    - siis \(f^{(k)} (0) = 1\) kaikilla \(k\).
    - Sarja on \(1+x+\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
    - Sarja suppenee kaikilla \(x\)
      - suppenemissäde \(R=\infty\) löytyy vaikkapa suhdetestin avulla.
- (b)Selvitä myös funktion \(f(x) = e^x\) Taylorin sarja pisteessä \(c\).
  - [A, s. 539]
- (c)(Missä \(f\) on analyyttinen?)
  - Kysymys analyyttisyydestä eli "mihin sarja suppenee" vaatisi perustelun.
    - Kirjassa tehty tässä kohti differentiaaliyhtälöiden avulla; ei käsitellä tällä kurssilla.
    - Näemme perustelun myöhemmin (Taylorin kaavan jäännöstermi suppenee).
  - Tässä vaiheessa otetaan annettuna tietona, että \(f\) on analyyttinen eli \[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \] ja vastaavasti \[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^c}{k!}(x-c)^k . \]

Selvitä sinin ja kosinin Maclaurinin sarjat.
- Laske derivaattojen arvot origossa.
- Sinille sarja on \[ 0+x+0-\frac{x^3}{3!}+0+\frac{x^5}{5!}+0- \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} \]
  - suppenee kaikilla \(x\)
  - uskotaan, että sini on analyyttinen (pitäisi todistaa, ei seuraa vielä edellisestä) eli \[ \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} \]
- Kosinille vastaavalla laskulla tai derivoimalla saadaan \[ \cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \] kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

Eksponenttifunktion sarjaesityksestä saadaan myös hyperboliselle sinille ja kosinille sarjat \[ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \] ja \[ \cosh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \] kaikilla \(x\in \mathbb{R}\).

Muita esimerkkejä

Selvitä Maclaurinin sarja funktiolle \(f(x) = e^{-\frac{x^2}{3}}\).
- eksponenttifunktion sarjaesityksen avulla saadaan \[ e^{-\frac{x^2}{3}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{3^k k!} x^{2k} \] kaikilla \(x\in \mathbb{R}\).
Selvitä Maclaurinin sarja funktiolle \(f(x) = \frac{\sin x^2}{x}\).
- kun \(x\not = 0\), sinin sarjaesityksen avulla saadaan \[ \frac{\sin x^2}{x} = \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{4k+2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{4k+1} \]
  - Funktio \(f\) ei ole määritelty nollassa, mutta sillä on raja-arvo 0, kun \(x\to 0\) (laske).
  - Määrittelemällä \(f(0) = 0\) sarja suppenee kohti funktiota \(f\) kaikkialla.
Selvitä Maclaurinin sarja funktiolle \(f(x) = \sin^2 x\).
- Trigonometrian kaavoista saadaan \(\sin^2 x = \frac12 (1- \cos 2x)\) ja kosinin sarjaesityksen avulla \[ \sin^2 x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{2^{2k+1}}{(2k+2)!} x^{2k+2} \]

Selvitä funktion \(f(x) = \log x\,\) Taylorin sarja pisteessä \(c=2\). Missä sarja suppenee funktioon \(f\)?
- Tunnetusta sarjaesityksestä \[ \log(1+t) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} t^k, \quad \text{ kun } -1<x\leq 1 \] saadaan muuttujanvaihdolla \(t=\frac{x-2}{2}\) \[ \log x = \log 2 + \log (1+t) = \log 2 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k 2^k} (x-2)^k , \] kun \(0<x\leq 4\).
Selvitä funktion \(f(x) = \cos x\,\) Taylorin sarja pisteessä \(\frac{\pi}{3}\).
- Kosinin summakaavan avulla \[ \begin{align*} \cos x &= \cos (x - \tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{3}) = \cos(x-\tfrac{\pi}{3}) \cos \tfrac{\pi}{3} - \sin(x-\tfrac{\pi}{3}) \sin \tfrac{\pi}{3} \\ &= \ldots = \frac12 - \frac{\sqrt{3}}{2} (x-\tfrac{\pi}{3}) - \frac{1}{2 \cdot 2!} (x-\tfrac{\pi}{3})^2 + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3!} (x-\tfrac{\pi}{3})^3 + \frac{1}{2 \cdot 4!} (x-\tfrac{\pi}{3})^4 - \cdots \end{align*} \] kaikilla \(x \in \mathbb{R}\).

15.3.1 Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

Funktion \(f\) pisteessä \(x=c\) kehitetty Taylorin polynomi astetta \(n\) on \[ \begin{align*} P_n (x) &= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n , \end{align*} \] kun \(f\) on riittävän siisti (eli kun \(f^{(n)}\) on olemassa pisteen \(c\) lähistöllä).

Huomautuksia

Taylorin polynomi on siis Taylorin sarjan osasumma.
Katso myös Calculus 2, kohta 13.2, mm.
- Jos \(f\) on \(m\):nnen asteen polynomi, sen Taylorin polynomit "astetta \(n\)" ovat itse asiassa korkeintaan \(m\):nnen asteen polynomeja.
Taylorin polynomia nollassa sanotaan myös Maclaurinin polynomiksi.
Taylorin polynomi on approksimaatio: \[ f(x) \approx P_n(x) \]
- kuinka suuri on virhe \(f(x) - P_n(x)\) ?
Taylorin kaava on tarkka: \[ f(x) = P_n(x) + E_n(x), \] missä \(E_n(x)\) on jäännöstermi.
- Jäännöstermille on useita esitysmuotoja:
  - Lagrangen muoto \[ E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!} (x-c)^{n+1} \quad \text{jollakin } s \in [c,x] \text{ tai } s \in [x, c] \]
  - integraalimuoto \[ E_n(x) = \frac{1}{n!} \int_c^x (x-t)^{n} f^{(n+1)} (t) \, dt . \]
Funktion \(f\) Taylorin sarja suppenee funktioon \(f\) eli \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k \] joss jäännöstermi \(E_n(x) \to 0\), kun \(n \to \infty\).
Muista myös Leibnizin lause vuorotteleville sarjoille (kohta 12.2.1)
- ja erityisesti sen "häntäarvio":
  - kun (oletukset toteuttava) vuorotteleva sarja katkaistaan, loppuosa on samanmerkkinen ja itseisarvoltaan korkeintaan yhtä suuri kuin ensimmäinen pois jätetty termi.

Esimerkki

Missä funktion \(f(x)=e^x\) Maclaurinin sarja suppenee funktioon \(f\)?
- kaikkialla; arvioidaan jäännöstermiä \[ |E_n(x)| = \frac{e^s}{(n+1)!} |x|^{n+1} \leq e^{|x|} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0, \] kun \(n\to \infty\).
  - Tässä tarvitaan tietoa \[ \lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} =0 \quad \text{ kaikilla } x \in \mathbb{R}. \]
    - Perustelu: kirjoita tulona ja arvioi, kun \(n\) on tarpeeksi suuri
      - tarkemmin [A, s. 502-503].

15.4 Taylorin sarjojen käyttötapoja

15.4.1 Funktion arvojen approksimointi

Kuten kurssilla Calculus 2 nähtiin, Taylorin polynomia voi käyttää funktion arvojen laskemiseen
- jäännöstermi kertoo virheen; kun halutaan tietty tarkkuus, valitaan niin suuri \(n\), että \(|E_n|\) on pienempi kuin sallittu virhe.
Esim. Laske luvun \(\cos 43^{\circ}\) likiarvo niin, että virhe on alle \(\frac1{10000}\).
- [A, s. 547]

15.4.2 Numeerinen integrointi

Esim. Selvitä funktion \[ I(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt \] Maclaurinin sarja ja laske sen avulla \(I(1)\) kolmen desimaalin tarkkuudella.
- [A, s. 548]

15.4.3 Raja-arvojen laskeminen

Raja-arvon selvittäminen epämääräisestä muodosta \(\frac00\)
- Keinoja tähän asti:
  - muokkaaminen ja supistaminen
  - l'Hospitalin sääntö
  - suppiloperiaate (esim. \(\frac{\sin x}{x} \to 1\), kun \(x \to 0\))
- Uusi keino: käytetään sarjoja.

Esimerkkejä

Laske \[ \lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} . \]
- tulos on \(\frac16\), käsittely [A, s. 549]
- tässä myös l'Hospitalin sääntö toimisi hyvin.
Laske \[ \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x}-1) \log(1+x^3)}{(1-\cos 3x)^2} . \]
- tulos on \(\frac{8}{81}\), käsittely [A, s. 549]
- tässä l'Hospitalin säännön käyttö ei houkuttele.

15.5 Binomikaava ja binomisarja

Binomikaava
- Taylorin kaavan avulla voidaan osoittaa, että \[ (a+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} x^k , \] kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku.
- Merkinnät:
  - \(\, \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\) on nimeltään binomikerroin
  - \(n! = 1 \cdot 2 \cdots n\) on luvun \(n\) kertoma
    - Käytetään myös tavanmukaista merkintää \(0!=1\).
- Huom: tulos on polynomi.
Binomisarja
- Binomikaavaa vastaava tulos, kun potenssi ei olekaan kokonaisluku: \[ (1+x)^r = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!} x^n , \] kun \(|x| < 1\)
- Tulos on siis potenssisarja.
- Huomaa, että rajoitumme tilanteeseen \(a=1\) vain mukavuussyistä - oik. rajoitus \(\,a>0\,\) sekä \(\,|x| < a\,\) riittäisi:
  - \((a+x)^r = a^r (1+\frac{x}{a})^r\).
Perustelut ja esimerkkejä
- [A, s. 550-552].

16. Fourierin sarjat

jaksollinen funktio
riittävän siistin funktion Fourierin sarja
- Fourierin sarjan kertoimet
- Fourierin sarjan suppenemisesta
kertaus & kyselytunti

[A, 9.9]

16.1 Lyhyesti Taylorin sarjasta ja Fourierin sarjasta

Funktion \(f\) pisteessä \(c\) kehitetty \(n\)-asteinen Taylorin polynomi \(P_n\)
- approksimoi funktion \(f\) arvoja hyvin
  - kun ollaan lähellä pistettä \(c\)
  - "paremmin kuin mikään toinen \(n\):nnen asteen polynomi"
    - pisteessä \(x=c\) funktion \(f\) arvo sekä sen \(n\) ensimmäisen derivaatan arvot ovat samat kuin Taylorin polynomilla
      - eli \(f(c) = P_n (c), \, f'(c) = P'_n (c), \, f''(c) = P_n''(c), \ldots, f^{(n)}(c) = P^{(n)}(c)\)
- voidaan kirjoittaa, jos funktio \(f\) on (ainakin) \(n\) kertaa derivoituva pisteen \(c\) lähistöllä
  - erityisesti siis \(f\) on jatkuva (pisteen \(c\) lähistöllä).
Funktion \(f\) Fourierin "polynomi"
- approksimoi jaksollista funktiota \(f\) koko reaalilukujen joukossa
  - tai funktiota \(f\) suljetulla välillä (voidaan jatkaa jaksolliseksi "kopioimalla")
- voidaan kirjoittaa mille tahansa jaksolliselle integroituvalle funktiolle
  - vaikkakin käsitellään yleensä vain paloittain jatkuvia funktioita
  - erityisesti siis funktio \(f\) voi olla epäjatkuva tutkittavalla välillä.

16.2 Jaksollinen funktio

Funktio \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) on \(T\)-jaksollinen, jos \[ f(t+T) = f(t) \quad \text{ kaikilla } t \in \mathbb{R}. \]
Jos \(f\) on \(T\)-jaksollinen, se on myös \(mT\)-jaksollinen, kun \(m= 2, 3, \ldots\), sillä esim. \[ f(t+2T) = f((t+T)+T) = f(t+T) = f(t) \quad \text{ kaikilla } t \in \mathbb{R}. \]
Pienintä lukua \(T>0\), jolla \(f\) on \(T\)-jaksollinen, sanotaan funktion \(f\) perusjaksoksi.
- Usein funktion "jaksolla" tarkoitetaan nimenomaan perusjaksoa.

Esimerkkejä

Funktiot \(g(t) = \cos(\pi t)\) ja \(h(t) = \sin(\pi t)\) ovat molemmat jaksollisia funktioita, ja kummankin perusjakso on \(2\), esim. \[ g(t+2) = \cos(\pi(t+2)) = \cos(t\pi + 2\pi) = \cos(t\pi) = g(t), \] koska kosini on \(2\pi\)-jaksollinen.
Myös funktio \(k(t) = \sin(2\pi t)\) on kyllä \(2\)-jaksollinen, mutta sen perusjakso on \(1\): \[ k(t+1) = \sin(2\pi(t+1)) = \sin(2t\pi+2\pi)) = \sin(2t\pi) = k(t). \]
Mikä on funktion \(f(t) = \cos(\pi t) + \frac12 \sin(2\pi t)\) perusjakso?
- Summan \(f(t) = g(t) + \frac12 k(t)\) perusjakso on funktioiden \(g\) ja \(k\) perusjaksojen pienin yhteinen jaettava.
  - (funktion kertominen vakiolla ei vaikuta jaksoon).
- Jakso on siis \(2\).

Mikä on funktioiden \(f_n(t) = \cos(n \omega t)\) ja \(g_n(t) = \sin(n \omega t)\) perusjakso, kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku ja \(\omega>0\;\)? Entä löytyykö jaksoa, joka olisi yhteinen kaikille funktioille \(f_n\) ja \(g_n\), \(n=1, 2, \ldots\)?
- (Kiinteällä \(n\)) funktioilla \(f_n\) ja \(g_n\) perusjakso on \(\frac{2\pi}{n\omega}\) (tarkista itse).
- Kaikilla \(n\) funktiot \(f_n\) ja \(g_n\) ovat \(T\)-jaksollisia, kun \(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
  - \(T\) on funktioiden \(f_1\) ja \(g_1\) perusjakso
  - muilla (\(f_2, \, g_2, \, f_3\,\) jne.) perusjakso on lyhyempi, ja \(T\) on jokaisen funktion perusjakson monikerta.

16.3 Fourierin sarja

Jos funktio \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) on \(T\)-jaksollinen jollakin \(T>0\)
- ja lisäksi jatkuva ja sillä on paloittain jatkuva derivaatta, niin \[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right) \] kaikilla \(t \in \mathbb{R}\), missä \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) ja \[ \begin{align*} a_n= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (n \omega t) \, dt, \quad b_n= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin (n \omega t) \, dt. \end{align*} \]
Yllä kirjoitettu sarja on funktion \(f\) Fourierin sarja (tai Fourier-sarja)
- ja luvut \(a_n\), \(b_n\) ovat funktion \(f\) Fourierin kertoimet.
Yllä mainituin oletuksin (jatkuvuus jne.) funktion \(f\) Fourierin sarja siis
- suppenee kohti funktiota \(f\) kaikkialla.
Paloittain jatkuva funktio on määritelty kurssilla Calculus 2 kohdassa 10.4.1.

Fourierin sarja voidaan kirjoittaa myös vain paloittain jatkuvalle funktiolle:
- tällöin sarja suppenee kohti funktiota \(f\) siellä, missä \(f\) on jatkuva, ja kohti toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa funktion \(f\) epäjatkuvuuskohdissa, eli \[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(n \omega c) + b_n \sin(n\omega c) \right) = \frac{f(c{-}) + f(c{+})}{2}, \] missä \[ f(c{-}) = \lim_{t \to c{-}} f(t) \quad \text{ ja } \quad f(c{+}) = \lim_{t \to c{+}} f(t) . \]
Todistus ei kuulu tälle kurssille.
Lisähuomautus (derivointi ja integrointi):
- jos \(f\) on jatkuvasti derivoituva, sen derivaatta \(f'\) saadaan derivoimalla funktion \(f\) Fourierin sarjaa termeittäin;
- jos \(f\) on (yhdellä jaksovälillä) integroituva funktio, sen määrätty integraali \(\,\int_a^b f(s) \,ds\,\) saadaan integroimalla funktion \(f\) Fourierin sarja termeittäin.
- Todistus ei kuulu tälle kurssille.
- Huomaa, että vaikka sini ja kosini ovat jatkuvasti derivoituvia funktioita, niiden ääretön summa ei välttämättä ole edes jatkuva; derivointia varten funktion \(f\) derivoituvuus pitää siis olettaa (eli tietää).

Esimerkkejä

Selvitä \(2\)-jaksoisen funktion \(f\), jolle \[ f(x) = \begin{cases} -1, \quad \text{ kun } -1<x<0 \\ \phantom{-}1, \quad \text{ kun } \quad \; 0<x<1 \end{cases} \] Fourierin sarja. Missä \(f\) ei ole jatkuva? Mihin Fourierin sarja suppenee näissä pisteissä?
- Tässä \(T=2\) eli \(\omega = \pi\).
- Koska \(f\) on pariton funktio eli \(f(-t) = - f(t)\) kaikilla \(t\), on \[ a_n = \int_{-1}^1 f(t) \cos (n \pi t) \, dt = 0 \] (integroitava on pariton funktio ja integroimisväli nollan suhteen symmetrinen; Calculus 2, kohta 10.2.6).
- Samoin symmetrian nojalla \[ b_n = \int_{-1}^1 f(t) \sin(n \pi t) \, dt = 2 \int_0^1 \sin(n \pi t) \, dt, \] josta saadaan \(0\), kun \(n\) on parillinen, ja \(\frac{4}{n\pi}\), kun \(n\) on pariton.
  - Fourierin sarja on siis \[ \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1} \sin ((2k-1) \pi t) \] eli \[ \frac{4}{\pi} \left( \sin(\pi t) + \frac13 \sin(3\pi t) + \frac15 \sin(5\pi t) + \cdots \right) \]
- Funktio \(f\) on jatkuva muualla paitsi kokonaislukupisteissä \(t = 0, \pm 1, \pm2, \ldots\)
  - (joissa se ei alun perin ole edes määritelty! Voidaan määritellä miten tahansa - ei vaikuta integraalien arvoon eikä siis sarjan kertoimiin.)
  - epäjatkuvuuskohdissa toispuoleiset raja-arvot ovat aina \({-1}\) ja \(1\), joiden keskiarvo on \(0\).
    - Myös Fourier-sarjan summa on nolla, kun \(t\) on kokonaisluku
      - (kaikki termit nollia, koska \(\sin(m\pi)=0\), kun \(m\) on kokonaisluku).

Tarkastellaan "sahalaitafunktiota": \[ f(t) = \pi - |t|, \quad \text{kun } -\pi \leq t \leq \pi \] ja funktio \(f\) on \(2\pi\)-jaksollinen. Mikä on funktion Fourier-sarja?
- Piirrä kuva.
- Funktio on parillinen, joten sinitermien kertoimet ovat nollia (tarkista itse).
- Laskemalla kertoimet \(a_n\) saadaan \[ f(t) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi (2k-1)^2} \cos((2k-1)t). \]
  - Tarkemmin [A, s. 557].

Katkaistua Fourierin sarjaa \[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{m} \left(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right) \] kutsutaan joskus nimellä Fourierin polynomi
- se ei ole polynomi muuttujan \(t\) suhteen
- mutta voidaan kirjoittaa lausekkeiden \(\sin(\omega t)\) ja \(\cos(\omega t)\) polynomina
  - vrt. \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\).

Esimerkin 3 sahalaitafunktiolle kolmannen asteen (kertaluvun) Fourierin polynomi on \[ \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \cos t + \frac{4}{9\pi} \cos 3t \]
- Piirrä (koneella): näyttääkö jo samalta?

16.4 Fourierin kosinisarja ja sinisarja

Kuten huomattiin,
- parillisen funktion Fourierin sarjassa
  - sinitermien kertoimet ovat nollia ja
- parittoman funktion Fourierin sarjassa
  - kosinitermien kertoimet ovat nollia.
Jos funktio \(f\) on määritelty välillä \([0,a]\), se voidaan jatkaa \(2a\)-jaksolliseksi kahdella tavalla:
- parilliseksi asettamalla \[ f(t) = f(-t), \quad \text{ kun } t \in [-a,0[ \]
  - ja välin \([-a,a]\) ulkopuolella jaksollisesti eli \[f(t)=f(t-2an), \quad \text{ kun } t \in [-a+2an,a+2an], \,\, n \in \mathbb{Z}\]
    - Tällöin funktiolle \(f\) voidaan laskea kosinisarja, jossa ei ole sinitermejä.
- parittomaksi asettamalla \[ f(t) = -f(-t), \quad \text{ kun } t \in [-a,0[ \]
  - ja määräämällä \(f\,(0)=0\,\) (tämä muutos ei vaikuta integraalien arvoon)
  - ja välin ulkopuolella vastaavasti jaksoittain.
    - Tällöin funktiolle \(f\) voidaan laskea sinisarja, jossa ei ole kosinitermejä.

Esimerkkejä

Määrää funktion \[ g \colon [0,\pi] \to \mathbb{R}, \quad g(t) = \pi -t \] kosinisarja.
- Jatketaan parilliseksi \(2\pi\)-jaksolliseksi asettamalla \[ g(t) = \pi-(-t) = \pi + t, \] kun \(t \in [-\pi, 0[\).
- Tämä on kohdan 16.3 esimerkissä 3 nähty sahalaitafunktio, sarja on jo laskettu: \[ \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi (2k-1)^2} \cos((2k-1)t) \, . \]
Määrää funktion \[ h \colon [0,1] \to \mathbb{R}, \quad h(t) = 1 \] sinisarja.
- Jatketaan parittomaksi \(2\)-jaksolliseksi asettamalla \[ h(t) = -1, \] kun \(t \in [-1, 0[\) ja vaihtamalla nollassa arvoksi nolla, \(h(0) = 0\).
- Tämä on muuten sama kuin kohdan 16.3 esimerkin 1 funktio, mutta lisäksi määritelty nollassa nollaksi. Sarja on jo laskettu: \[ \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1} \sin ((2k-1) \pi t) \, . \]

16.5 Sovelluskohteita ja muuta mielenkiintoista

Jaksollisen ilmiön mallintaminen
Signaalinkäsittely
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Gibbsin ilmiö epäjatkuvuuspisteissä

Kurssin lopuksi

Vastaathan KURSSIKYSELYYN, jonka linkin saat sähköpostilla viimeisten harjoitusten aikaan
- tämä on tärkeää sekä tämän että muiden kurssien kehittämisen vuoksi. Kiitos, että vastaat!
Ilmoittaudu
- kurssikokeeseen, jos olet saanut viikkokokeista riittävästi pisteitä
- lopputenttiin, jos et ole saanut viikkokokeista riittävästi pisteitä tai kurssikokeen/uusinnan tulos ei miellytä.
  - Huomaa, että lopputentit löytyvät Korpista kohdasta Opinnot/Tentit; kurssin Korppi-sivulla mainitut "tentit" ovat kurssikokeita.