Matematiikka- jumppa

Avoin matematiikka-jumppa, joka toimii ilman kirjautumista löytyy osoitteesta:

http://math.tut.fi/mcjumppa/

Tämä jumppa on toteutetta MathCheck:llä, jonka kotisivu on

http://math.tut.fi/mathcheck/

brief_help end_of_answer

Ohje tehtävien vastaamiseen

# ohje

MathCheck-ohjelman komento brief_help tuottaa lyhyet kirjoitusohjeet ja help tuottaa kaikki ohjeet.

brief_help

 

Peruslaskutoimitukset

Ensimmäisessä osiossa harjoitellaan peruslaskutoimituksia. Vastaa tässä osiossa suoraan yhtäsuuruusmerkin jälkeen.

Anna vastauksesi rationaalilukuna (kokonais- ja murtoluvut).

Lisää lukujoukoista ja muuta hyödyllistä löytyy seuraavista linkeistä:

# seq1_1

1. Määritä luvun käänteisluku.

=

 
# seq1_2

2. Määritä luvun vastaluku.

=

 
# seq1_3

3. Laske lausekkeen arvo, kun . Anna vastaus kokonaislukuna tai murtolukuna , missä ja ovat kokonaislukuja.

=

 
# seq1_4

4. Laske lausekkeen `x^ 4 + x^ 3 ` arvo, kun `x = 3`.

=

 
# seq1_5

5. Laske lausekkeen `( -3 )/( -4 ):( 7 )/( 4 )` arvo murtolukuna `a/b`, missä `a` ja `b` ovat kokonaislukuja.

=

 

Itseisarvon määritelmä (internetix.fi). Englanniksi itseisarvo on absolute value. Usein laskimissa ja laskentaohjelmissa kirjoitetaankin itseisarvoa laskettaessa abs(). Esimerkiksi ensimmäinen tehtävä on ohjelmoitu abs(a+b). Vastauksessasi ohjelma vaatii kuitenkin yksinkertaisemman vastauksen.

Vastaa nyt vain tarkoilla arvoilla, älä käytä likiarvoja.

# seq2_1r

1. Ratkaise luvun ` 6 -2` itseisarvo.

=

 
# seq2_2

2. Ratkaise luvun ` 5 -13 ` itseisarvo.

=

 
# seq2_3

3. Ratkaise luvun `sqrt( 3 ) -6 ` itseisarvo.

=

 
# seq2_4

4. Ratkaise luvun `6-ln e^11` itseisarvo.

=

 
# seq2_5

5. Ratkaise luvun `sin e^7 +6 - 7 sqrt(2) ` itseisarvo.

=

 

3. Lausekkeiden sieventäminen

Laskimilla sieventäminen on helppoa (Opetustv.fi). Yliopistomaailmassa sieventäminen(kin) harjoitellaan kuitenkin käsin. Expand and simplify in English.

# seq3_1

1. Sievennä `( 30 ( 54 -30 ))/( 36 )`

=

 
# seq3_2

2. Sievennä ` cos \frac{pi}{3} + cos \frac{2 pi}{3}`

=

 
# seq3_3

3. Sievennä `(x+y)^2-(x-y)^2 +2 x y`. Laita vastaukseen kirjainten väliin kertomerkki 2a*b tai sulut 2a(b).

=

 
# seq3_4

4. Sievennä `((x +3 )(x +6 ))/(x +3 )-x.` Oletetaan, että `x>0`.

=

 
# seq3_5

5. Sievennä `(x^2 +6 x +5 )/(x +1 )-(x+2)`. Oletetaan, että `x>0`.

=

 

4. Osamurtokehitelmä

Osamurtokehitelmään tutustutaan lukiossa ainakin MAA10 -kurssilla murtofunktioiden integroinnin yhteydessä. Osamurtokehitelmää kutsutaan myös osamurtohajotelmaksi.

Englanniksi osamurtokehitelmä on partial fraction expansion. Linkin videolla harjoitellaan myös polynomien jakamista jakokulmassa. Suomeksi polynomien jakaminen jakokulmassa Opetustv:ssä.

Alla olevissa tehtävissä voit harjoitella osamurtokehitelmän tekemistä. Voit kirjoittaa muistiinpanoja ja välivaiheita kommenttimerkin sisään: /* muistiinpanosi*/ niin, että ohjelma tarkistaa vain vastauksesi. Vastauskentän oikeasta alakulmasta voit muuttaa kentän kokoa hiirellä vetämällä. Ota = -merkki pois muistiinpanojen edestä, ohjelma luulee sitä muuten vastaukseksi ja antaa virheilmoituksen.

# seq4_1

1. Määritä osamurtohajotelman `\frac{1}{x (x+ 9)}=\frac{A}{x} + \frac{B}{x+ 9}` kertoimet A ja B. Vastauksessasi kirjoita hajotelman oikea puoli uudelleen laskemillasi arvoilla. Oletetaan lisäksi, että `x!=0` ja `x!=- 9`.

=

 
# seq4_2

2. Määritä osamurtokehitelmän ` 9 /(x(x- 8 ))`=`A/x + B/(x- 8 )` kertoimet A ja B. Vastauksessasi kirjoita hajotelman oikea puoli uudelleen laskemillasi arvoilla. Oletetaan lisäksi, että `x!=0` ja `x!= 8 `.

=

 
# seq4_3

3. Määritä osamurtohajotelman `1/((x- 10 )(x+ 10 ))`=`A/(x- 10 ) + B/(x+ 10)` kertoimet A ja B. Vastauksessasi kirjoita kehitelmän oikea puoli uudelleen laskemillasi arvoilla. Oletetaan lisäksi, että `x!=- 10 ` ja `x!= 10 `.

=

 
# seq4_4

4. Määritä osamurtohajotelman `( 3 x)/((x- 3 )(x- 4 )) = A/(x- 3 ) + B/(x- 4)` kertoimet A ja B. Vastauksessasi kirjoita kehitelmän oikea puoli uudelleen laskemillasi arvoilla. Oletetaan lisäksi, että `x!= 3 ` ja `x!= 4 `.

=

 
# seq4_5

5. Määritä osamurtohajotelman ` 6 /(x(x- 5 )^2) = A/x + B/(x- 5 )+C/(x- 5)^2` kertoimet A ja B. Vastauksessasi kirjoita kehitelmän oikea puoli uudelleen laskemillasi arvoilla. Oletetaan lisäksi, että `x!=0` ja `x!= 5 `.

=

 

5. Ensimmäisen asteen yhtälö

Vastauksessasi = pi ja neperin luku e=e. Yhtälönratkaisun perusideaa ja vähän haastavampaa teoriaa Opetustv:ssä. Neperin luku e on tavallisen eksponenttifunktion ja luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku (matta.hut.fi).

# seq5_1a

1. Ratkaise x yhtälöstä `x+4=4`

<=> x=

 
# seq5_2

2. Ratkaise `x` yhtälöstä `x +5 =2x`.

<=>

 
# seq5_3

3. Ratkaise `x` yhtälöstä `x +3 =2x +4 `.

<=>

 
# seq5_4

4. Ratkaise `x` yhtälöstä ` 9 x +7 = 5 x +3 `.

<=>

 
# seq5_5

5. Ratkaise `x` yhtälöstä ` e x +6 = pi x +8 `.

<=>

 

6. Toisen asteen yhtälö

Osiossa harjoitellaan toisen asteen yhtälön ratkaisua. Toisen asteen polynomiyhtälöstä yleisesti Opetustv:ssä. Aloita ratkaisusi x=...Jos ratkaisuja eli juuria on useita, vastaa x=... or x=... Myös tai -merkintä \/ juurten välissä käy.

# seq6_1

1. Ratkaise toisen asteen yhtälö `x^2- 9 x = 0`.

<=>

 
# seq6_P

2. Ratkaise toisen asteen yhtälön `2x^2- 9 x+ 3 = 0` diskriminantti.

<=> d=

 
# seq6_3

3. Ratkaise `x^2 +9 x +20 = 0`.

<=>

 
# seq6_4

4. Ratkaise ` -9 x^2 -24 x -7 = 0`. Kannattaa käyttää tässä laskinta diskriminantin laskemiseen.

<=>

 
# seq6_5

5. Ratkaise ` 8 x^ 2 -2 x -10 = 0`.

<=>

 

7. Polynomiepäyhtälöt

N-asteinen polynomiepäyhtälö ja murtoepäyhtälö-teoriaa ja esimerkkejä linkkien takana. Linkit Opetustv.fi ja internetix.fi. Solving polynomial inequalities with ProfRobBob and Solving Quadratic Inequalities.

Vastaa x= a or x=b or x=c .... Voit käyttää myös tai -merkkiä \/.

# seq7_1

1. Ratkaise ne muuttujan `x` arvot, jotka kuuluvat välille `[0, pi]` ja toteuttavat yhtälön ` sin(x) = sqrt(3)/2`. Anna vastaukset radiaaneissa tarkkana arvona.

<=>

 
# seq7_2

2. Ratkaise kaikki lukua 7 pienemmät kokonaisluvut, jotka toteuttavat yhtälön `x^2-5 x+4 < 0`.

<=>

 
# seq7_3

3. Ratkaise kaikki lukua 3 pienemmät kokonaisluvut, jotka toteuttavat yhtälön `0 < x(x^2 - 49)`. Kannattaa piirtää kuva.

<=>

 

Command '['cd /tmp/tmp/2e32f611-c4d0-4b1d-8f87-ac51f31602ad && /cs/mathcheck/mathcheck_subhtml.out </tmp/tmp/2e32f611-c4d0-4b1d-8f87-ac51f31602ad/prg.txt']' returned non-zero exit status 126

— 03 Sep 17
# seq7_4

4. Ratkaise kaikki lukua 9 pienemmät kokonaisluvut, jotka toteuttavat murtoyhtälön `frac(x+1)(x-5)<0`. Nyt murtoyhtälön osoittaja ja nimittäjä pitää tarkastella erikseen.

<=>

 
# seq7_5

5. Ratkaise kaikki lukua 4 pienemmät kokonaisluvut, jotka toteuttavat epäyhtälön `x^2-1 < 3x+3`.

<=>

 

8. Epäyhtälöt

Epäyhtälöt. Ensimmäisen asteen epäyhtälö itseisarvo-, logaritmi-, neliöjuuri- ja eksponenttifunktioilla.

Vastaa kaikissa tehtävissä kokonaisluvuilla. Aloita vastauksesi x = ... or x = ... or x = ... Edelleen voit halutessasi käyttää \/ or -merkin sijaan. Ellei vastausta löydy, vastaa pelkkä FF.

# seq8_1

1. Etsi kokonaislukuarvot, joilla ln(x−5)>0, kun `x< 10 `.

<=> x=9 or ...

 
# seq8_2

2. Ratkaise kaikki kokonaisluvut, jotka toteuttavat yhtälön `abs(x +3 )< 4 `.

<=>

 
# seq8_3

3. Ratkaise reaaliluvut, jotka toteuttavat yhtälön `x=sqrt(x) +2 `.

<=>

 
# seq8_4

4. Ratkaise reaaliluvut, jotka toteuttavat yhtälön `e^(2*x)= 6 e^(x)`.

<=>

 
# seq8_5

5. Ratkaise reaaliluvut, jotka toteuttavat yhtälön `e^(2*x)=x -9 `.

<=>

 

9. Trigonometria

Aiheena trigonometriset funktiot, radiaanin käsite, muistikolmiot ja tangentti. Vastauksissasi = pi ja neliöjuuri = sqrt(). Asteet ja radiaanit voit antaa pelkkinä numeroarvoina ilman yksikköä. Jos tuloksena on kaksi eri arvoa, vastaa: x =... or x =..., or -merkin sijaan voit käyttää myös \/. Käytä vastauksessasi positiivista kiertosuuntaa: positiiviselta x-akselilta positiivisen y-akselin suuntaan.

# seq9_1

1. Ilmoita radiaaneina `x= 50` astetta.

=

 
# seq9_2

2. Ilmoita asteina ` 5 ` rad.

=

 
# seq9_3

3. Laske yhtälön `sin(x)= sqrt(3)/2 ` ratkaisut välillä `[0,2pi]`. Ilmoita vastaus radiaaneissa. Vastauksessasi `pi` = pi.

<=>

 
# seq9_4

4.Laske yhtälön `cos(x)= sqrt(3)/2 ` ratkaisut välillä `[0,2pi]`. Käytä positiivista kiertosuuntaa ja ilmoita vastaus radiaaneissa. Vastauksessasi `pi` = pi.

<=>

 
# seq9_5

5. Milloin tangentti `tan(x)` saa arvon `sqrt(3)`?.Etsi muistikolmioiden avulla kulmat x. Tangentin arvo toistuu `pi`:n välein. Olkoon lisäksi `x in [0,2pi]`

<=>

 

10. Trigonometriset yhtälöt

Trigonometriset yhtälöt, siniyhtälöt ja kosiniyhtälöt. Vastauksissasi = pi. Aloita vastauksesi x= ... Vastaus radiaaneissa on muotoa .

# seq10_1

1. Laske yhtälön `sin( 7 x)=cos(x)` ratkaisu radiaaneissa? Olkoon `x in [0,2pi]`. Etsi taulukosta sinin ja kosinin palautuskaavat ja muunna niin, että yhtälön molemmat puolet ovat muotoa sin(a)=sin(b). Anna pienin positiivinen ratkaisu.

<=>

 
# seq10_2

2. Laske yhtälön ` cos ( 8 x) +1 =0` ratkaisu radiaaneissa. Anna jälleen pienin positiivinen ratkaisu. Vinkki: Milloin cos saa arvon -1 ?

<=>

 
# seq10_3

3. Laske lausekkeen `2sin(-pi/3) +cos (2*(2pi)/3)` arvo. Kulmien tarkat arvot muistikolmioista tai trigonometristen funktioiden taulukosta. Tässä tehtävässä kirjoita vastauksesi suoraan yhtäsuuruusmerkin perään.

=

 
# seq10_4

4. Mikä on kulman `x` suuruus radiaaneissa, kun `tan( 8 x)=sqrt(3)`? Tangentin arvoja löytyy trigonometrian taulukoista. Anna pienin positiivinen ratkaisu.

<=>

 
# seq10_5

5. Laske yhtälön `sin( 6 x)=sin (3x+pi/2)` ratkaisu. Trigonomiset funktiot ovat jaksollisia, niiden kuvaajat toistuvat samanlaisina jaksottain. Esim. sinille ja kosinille sama kulma toistuu `2pi`:n välein. Anna vastauksessasi pienin positiivinen ratkaisu radiaaneina.

<=>

 

11. Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot. Merkitse potenssit esimerkiksi e^14 tai e^(14). Jos potenssissa on useampi tekijä, laita ne selkeyden vuoksi sulkuihin: e^(2x). Logaritmikin kannattaa selkeyden vuoksi laittaa sulkuihin: ln(a). Vastaa kokonais- tai murtoluvuilla, älä käytä desimaaleja. ln(x) merkitsee luonnollista logaritmia luvusta x. Luonnollisen logaritmin kantaluku on e. Koska logaritmi voidaan ottaa vain positiivisesta luvusta, alkuehto on x > 0. Vastaa tarkoilla arvoilla, älä käytä desimaaleja. Aloita vastauksesi: x=...

Logaritmi ja sen laskusäännöt. Videot: Opetustv.fi

# seq11_1

1. Ratkaise logaritmiyhtälö `ln(x)= 13 `. Olkoon `x>0`.

<=>

 
# seq11_2

2. Ratkaise eksponenttiyhtälö ` 6 ^x = 16 `.

<=>

 
# seq11_3

3. Ratkaise yhtälön `e^( 3 - 4 x)=e^( 7 x)` arvo.

<=>

 
# seq11_4

4. Ratkaise logaritmiyhtälö `ln( 9 -x)=ln(x+ 3 )+ 1`.

<=>

 
# seq11_5

5. Ratkaise yhtälö `e^(- 4 x)= 5 `.

<=>

 
# seq12_1

1.Sievennä `\frac{(x+ 5 )(x+7)+1}{x+ 6}`. Olkoon `x!= -6 `

=

 
# seq12_2

2. Ratkaise muuttujan `x` suhteen yhtälö ` 2 ^( -5 x -3 )= 4 `

<=>

 
# seq12_3

3. Ratkaise murtoyhtälö muuttujan x suhteen `( 11 x)/(x-2) = 2 /3 + 1/(x-2)`. Jatka tehtävän alkua ja viimeisen rivin tulee olla muodossa <=> x=....

<=> (11*x)/(x-2)=2/3+1/(x-2)
<=> x != 2 and (11*x)=2*(x-2)/3+1
<=>

 
# seq12_4

4.Ratkaise `sin^2(x)+cos(x)=1.` Mieti, miten Pythagoraan lause toteutuu yksikköympyrässä (hypotenuusa =1) niin, että yhtälöön jää vain kosinia. Valitse yhteinen tekijä sopivasti... Olkoon `x in [0, pi]`.

<=>

 
# seq12_5

5. Ratkaise yhtälö ` 4*x+ 6*cos \frac{2pi}{3} + 2*cos^2 \frac{pi}{4} - 7 sin \frac{pi}{2} =0`. Vastaa kokonais- tai murtoluvulla.

<=>

 

13. Alkeisfunktioiden derivointi

Alkeisfunktioiden derivointia. Logaritmifunktio, eksponenttifunktio, ja yhdistetyn funktion derivointi. Potenssit kannattaa selkeyden vuoksi laittaa sulkuihin, jos tekijöitä on enemmän kuin yksi. Vastaa suoraan yhtäsuuruusmerkin jälkeen.

# seq13_1

1. Laske funktion `f(x)= 4 x^ 13 ` derivaatta.

=

 
# seq13_2

2. Laske `frac (d)(dx) 7 cos(x) `.

=

 
# seq13_3

3. Laske `frac (d)(dx) 6 ln( 5x )`.

=

 
# seq13_4

4. Laske funktion `f(x)= -2 e^( 4x )+ 2 ^x` derivaatta.

=

 
# seq13_5

5. Laske funktion `f(x)= ( 2 -3 x)^ 5 ` derivaatta.

=

 

14. Derivointi

Tulon ja osamäärän derivaatta lyhyesti etälukiossa. Osamäärän derivaatta matikkamatskuissa ja trigonometristen funktioiden derivointi Opetustv:ssä.

# seq14_1

1. Laske funktion `f(x)= 4 x^( 2 ) -3 x +7` derivaatta.

=

 
# seq14_2

2. Laske `frac (d)(dx)(frac ( 4 x)(x^2 +5 ))`.

=

 
# seq14_3

3. Laske `frac (d)(dx) x^2(x^2 +6 )`.

=

 
# seq14_4

4. Laske derivaatta `frac(d)(d x) ( 3 sin(x) + 8 x^ 2 )`.

=

 
# seq14_5

5. Laske derivaatta `frac(d)(d x)(ln( 9 x) +2 e^( 2x ))`.

=

 

15. Alkeisfunktioiden integrointi

Integrointi. Integraalifunktio tarkastetaan derivoimalla, siksi jokaisen tehtävän alussa tulee olla = DD x . Esimerkiksi integroimme funktion f(x)=2x, josta F(x)=x^2 + integrointivakio. Tehtävissäsi vastaat: DD x(x^2 + C), josta ohjelma antaa palautteen 2x= d/dx(x^2) ...great. Vastauksessasi voit jättää DD x x^2 väliin joko välilyönnin tai laittaa sulut: DD x(x^2). Laskimista tuttu logiikka toimii tässäkin. Samalla huomaamme, että integrointi on kätevää tarkastaa derivoimalla. Älä unohda integrointivakiota, vaikka se derivoituukin nollaksi. Integrointivakioksi käy mikä tahansa kirjain.

HUOM! Ole tarkkana sulkujen kanssa. Jos vastauksessa puuttuu esimerkiksi viimeinen sulku, ohjelma tulostaa sen palautteeseen,mutta tulkitsee vastauksen vääräksi: DD t((5/2)t^2 -2t lopusta puuttuu sulku, mutta ohjelma antaa palautteen: DD t((5/2)t^2 -2t ) eli tekee puuttuvan sulun perään, mutta on silti väärin. Samoin jos lopussa on ylimääräinen sulku. Ohjelma on tarkoitettu matematiikan opiskelun tueksi, ja virheet on korjattava vastaukseen. Muuten sulutus toimii laskimista tutulla logiikalla.

Polynomi- ja potenssifunktioiden integrointi Opetustv:ssä ja

Integroimissääntöjä oman koulun sivuilla tut.fi.

# seq15_1

1. Integroi `f(x)=x^2 +3*x`.

= DD x

 
# seq15_2

2. Laske `int( 6 t -2 )dt`.

= DD t

 
# seq15_3

3. Integroi `f(x)= 3 x^3 -2 x -3 +7/x^2`. Olkoon ` x != 0`.

= DD x

 
# seq15_4

4. Integroi funktio `f(x)= 2 x^( 9 ) +4 + cos(x) `.

= DD x

 
# seq15_5

5. Integroi `f(x)= 6 /( 6 x)`. Oletetaan, että `x>0`.

= DD x

 

16. Integrointi

Integrointi. Integraalifunktio tarkastetaan derivoimalla, siksi jokaisen tehtävän alussa tulee olla = DD x . Esimerkiksi integroimme funktion f(x)=2x, josta F(x)=x^2 + integrointivakio. Tehtävissäsi vastaat: DD x(x^2 + C), josta ohjelma antaa palautteen 2x= d/dx(x^2) ...great. Vastauksessasi voit jättää DD x x^2 väliin joko välilyönnin tai laittaa sulut: DD x(x^2). Laskimista tuttu logiikka toimii tässäkin. Samalla huomaamme, että integrointi on kätevää tarkastaa derivoimalla. Älä unohda integrointivakiota, vaikka se derivoituukin nollaksi. Integrointivakioksi käy mikä tahansa kirjain.

HUOM! Ole tarkkana sulkujen kanssa. Jos vastauksessa puuttuu esimerkiksi viimeinen sulku, ohjelma tulostaa sen palautteeseen,mutta tulkitsee vastauksen vääräksi: DD t((5/2)t^2 -2t lopusta puuttuu sulku, mutta ohjelma antaa palautteen: DD t((5/2)t^2 -2t ) eli tekee puuttuvan sulun perään, mutta on silti väärin. Samoin jos lopussa on ylimääräinen sulku. Ohjelma on tarkoitettu matematiikan opiskelun tueksi, ja virheet on korjattava vastaukseen. Muuten sulutus toimii laskimista tutulla logiikalla.

Polynomi- ja potenssifunktioiden integrointi Opetustv:ssä ja

Integroimissääntöjä oman koulun sivuilla tut.fi

# seq16_1

1. Integroi `f(x)=e^( 6 x) +4 cos ( 3 x)`.

= DD x

 
# seq16_2

2. Integroi funktio `f(x)= x*e^x `.

= DD x

 
# seq16_2b

3. Integroi funktio `f(x)= x^2*e^x `.

= DD x

 
# seq16_3

3. Integroi funktio `f(x)= x^2*e^x `.

= DD x

 
# seq16_4

4. Integroi funktio `f(x)= sin(x)*cos(x) `.

= DD x

 
# seq16_5

5. Integroi funktio `f(x)= x*e^x+sin(x)+sqrt(x)`.

= DD x

 
# ltitehtava
Plugin lti error:
Plugin does not exist.

Ohjeita opettajalle

Tämän sivun tarkoitus on testata miten jumppa toimisi TIM:ssä TIM-ohjeet. Esimerkkejä MathCheck tehtävien toteuttamisesta TIM:stä on täällä MC TIM:ssä

Pisteytysohjeet löytyvät osoitteesta csPlugin

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.